Maloletov-diss

Производные направляющие косинусов между осями координат i и j тел:

Учитывая, что первые производные направляющих косинусов не зависят от обобщённых ускорений, дифференциальные уравнения связи преобразуются к виду:

Такая форма записи удобна для моделирования цилиндрического шарнира, в тех случаях, когда его ось параллельна одной из осей подвижной системы координат, связанной с i телом, что на практике встречается достаточно часто. Тогда соответствующее уравнение в (2.57) заменяется на уравнение момента сил (2.19).

в) Возможность поворота вокруг одной оси (цилиндрический шарнир).

Поскольку цилиндрический шарнир может быть ориентирован произвольно относительно тел системы, использовать уравнения (2.54) не удобно. Эти

123

уравнения должны быть переписаны с учётом произвольного направления оси цилиндра.

Задаётся направление оси цилиндрического шарнира в виде единичного вектора в подвижной системе координат, связанной с i телом

Связь рассматриваемого типа накладывает запрет на взаимное перемещение тел, описываемый уравнениями (2.48), и запрет на поворот тел относительно друг друга вокруг всех осей кроме оси e . Относительно оси e задаётся момент сил (2.19), который в частном случае может быть равен нулю.

Для записи уравнений связи, описывающих невозможность поворота одного тела относительно другого, требуется задать два произвольных единичных вектора, перпендикулярных друг другу и вектору e . Из бесконечного множества таких векторов выбираются векторы l и m по следующему алгоритму.

1. Выберается минимальное по модулю значение из величин eix ,eiy ,eiz , которое обозначается через en1 , две другие составляющие этого вектора обозначаются через en2 и en3 1.

2. Вычисляется величина en23= e2n2 e2n3 — проекция вектора e на плоскость, перпендикулярную оси n1. Поскольку en1 = min(eix, eiy, eiz), то en23≠0 .

3. Составляющие вектора l определяются выражениями:

1 Здесь и далее индексы n1, n2 и n3 – следует понимать как формальную замену индексам x, y, z, то есть, например, компоненты en1 ,en2 ,en3 — это те же самые переменные eix ,eiy ,eiz , переименованные только для удобства выкладок.

124

en23

4.Составляющие вектора m вычисляются по формулам:n3

mn1=0

mn2=−en3 (2.60)

en23

mn3=en2 en23

Векторы e , l и m представляют собой орты прямоугольной декартовой системы координат, а их координаты

являются направляющими косинусами этой системы относительно подвижной системы отсчёта связанной с i телом.

Координаты этих векторов в подвижной системе координат j тела:

Окончательно дифференциальные уравнения связи имеют вид:

Выражение для момента сил относительно оси e

может быть представлено через проекции момента сил на оси подвижной системы отсчёта i тела

127

или окончательно через проекции момента сил на оси неподвижной системы отсчёта

перемещения. Поступательная прямолинейная пара (скользящая заделка) аналогично цилиндрическому шарниру может быть ориентирована произвольно относительно взаимодействующих тел.

Направление оси пары задаётся в виде единичного вектора e в подвижной системе координат, связанной с i телом (2.58). Выбираются единичные векторы l и m (2.59), (2.60).

Связь рассматриваемого типа накладывает запрет на взаимный поворот тел, что в данном случае удобно описывать уравнениями (2.52), и запрет на относительное перемещение тел вдоль осей l и m . Относительно оси e задаётся сила (2.19), которая в частном случае может быть равна нулю.

Уравнения связи, описывающие запрет на относительное перемещение тел вдоль осей l и m имеют вид: