4.2 Реакция статической сар на возмущающее воздействие

1. Для выходной координаты .

Передаточная функция внешнего разомкнутого контура для координаты :

Для нашего варианта:

Следовательно, при возмущающем воздействии реакция системы в отношении координаты будет такой же, как при управляющем воздействии в отношении выходной координаты . Аналогично при аппроксимации внутреннего замкнутого контура передаточная функция разомкнутого и замкнутого контуров будет:

Для нашего варианта:

Таким образом, переходная функция при возмущающем воздействии может быть построена по следующим выражениям:

2. Для выходной координаты .

Передаточная функция разомкнутой системы:

В случае аппроксимации внутреннего замкнутого контура ( порядок уравнений снижается на один, поэтому:

Отсюда

Поэтому для переходной функции выходной координаты при возмущающем воздействии можно записать.

где – оптимальная переходная функция системы второго порядка;

Следовательно, для переходных функций можно записать следующие выражения:

Учитывая то, что при единичном возмущающем воздействии F(p)=1 на входе системы имеется задающее возмущение . Результирующая переходная функция для выходной координаты упрощенной аппроксимированной системы при возмущающем воздействии будет определяться следующим выражением:

Аналогично путём подобных преобразований можно получить и переходную функцию и для полной неаппроксимированной системы:

На рисунке 11 показаны полученные кривые переходных процессов с учетом подачи возмущающего сигнала в момент времени t=1c.

Рис 11. Переходные процессы статической САР при возмущающем воздействии.

4.3 Построение статической сар в программной среде Simulink. Анализ статической сар.

С помощью программной среды Simulink построим данную статическую САР. Полученные результаты представлены на рисунке 12.

Графики, построенные в программе Excel на основе формул с зависимостью от времени (Рис. 11), полностью идентичны графикам, построенным в программной среде Simulink, использующей для вычисления оператор Лапласа (Рис.12). Следовательно, статическая САР была построена верно и мы можем провести её дальнейший анализ.

Анализ полученных данных подразумевает получение основных статических и динамических постоянных статической САР при возмущающем и управляющем воздействиях:

1. По управляющему воздействию:

2. По возмущающему воздействию

Рис 12. Схема и переходные процессы статической САР (Simulink).

5. Оптимизация сар по симметричному оптимуму

Как показано ранее любой оптимизированный по “модульному” оптимуму контур регулирования может быть представлен колебательным звеном с передаточной функцией

.

где - наименьшая постоянная времени рассматриваемого контура с коэффициентом демпфирования .

В этом случае логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид кривой, представленной на рисунке 13. Важнейшим достоинством таких систем является возможность получения оптимального переходного процесса с минимальными значениями перерегулирования и времени регулирования. Кроме того, такой метод оптимизации обеспечивает простоту построения и расчета таких оптимальных систем. Однако недостатком такого метода является то, что система регулирования в этом случае будет статической, поэтому в ряде случаев требования к точности регулирования не могут быть удовлетворены.

Из способа оптимизации по техническому оптимуму следует, что с целью придания оптимизированному контуру регулирования астатической характеристики в него вводится интегрирующее звено (если в объекте регулирования оно отсутствует). Обычно в рассматриваемых САР кроме управляющего воздействия имеется и возмущающее воздействие. В этом случае статическая ошибка регулирования при возмущающем воздействии может превысить допустимую величину. Для уменьшения, либо исключения ошибки в этом случае необходимо изменить настройку системы регулирования. Рассмотренная ранее система является астатической по управляющему воздействию и статической по возмущающему воздействию. Это значит, что при приложении возмещения возникает статическая ошибка, величина которой пропорциональна этому возмущению.

Для получения системы астатической и по возмущающему воздействию необходимо иметь два интегрирующих звена.

Но система, имеющая два интегрирующих звена, является структурно неустойчивой, т.к. её ЛАЧХ пересекает ось с наклоном . Для обеспечения устойчивости контура регулирования с двукратным интегрированием его ЛАЧХ (рис.13) должна повторять в зоне частоты среза наклон ЛАЧХ, равный .

Следовательно, ЛАЧХ двукратно интегрирующей системы в области частоты среза должна иметь наклон . А переход к двукратному интегрированию, т.е. переход в наклон , должен осуществляться левее частоты среза (на октаву), т.е. при , что симметрично по отношению к существующему перелому ЛАЧХ справа на одну октаву от частоты среза, т.е. . В связи с этим, такой способ оптимизации с двукратным интегрированием называется “симметричным оптимумом” по виду желаемой ЛАЧХ.

Передаточная функция разомкнутого контура регулирования, соответствующая ЛАЧХ, имеет вид:

Для нашего варианта:

Рис 13. ЛАЧХ и ЛФЧХ контура при настройке на симметричный оптимум

Увеличение наклона низкочастотной части ЛАЧХ до -40 дБ/дек позволяет уменьшить динамические ошибки за счет увеличения коэффициента усиления в низкочастотной области ЛАЧХ. Логарифмическая фазовая частотная характеристика при этом также имеет симметричный характер относительно частоты среза . ЛФЧХ такой системы, рассчитанная по выражению , представлена на Рис.13. Из этой характеристики видно, что максимум запаса по фазе будет иметь место примерно в середине среднечастотной амплитуды с наклоном -20 дБ/дек. Поэтому в ТАУ они получили название симметричных.

Следовательно, система, настроенная по симметричному оптимуму, будет астатической с астатизмом второго порядка (как по управляющему, так и по возмущающему воздействиям). Для ЛАЧХ такой системы имеем следующие пропорции частот:

где

Как было отмечено выше, астатическая САР должна быть двукратно интегрирующей. Внутренний контур САР, настроенный по модульному оптимуму, обеспечивает астатизм по управляюще­му воздействию. В связи с этим, при настройке САР по симмет­ричному оптимуму внутренний контур должен быть настроен таким же образом, как и в однократно интегрирующей системе, т.е. дол­жен иметь оптимальную передаточную функцию.

В выражении (**) (Стр.16) в качестве сомножителя входит выражение

соответствующее разомкнутой оптимальной системе, настроенной по модульному оптимуму при аппроксимации внутреннего замкнутого контура. Передаточная функция разомкнутой системы, настроенной по симметричному оптимуму отличается от этого выражения множителем Следовательно, для получения двухкратно интегрирующей системы необходимо изменить передаточную функцию регулятора:

где

Передаточная функция замкнутой двухкратно интегрирующей системы:

Для нашего варианта: