Тема 5 колебательное движение

Гармоническое колебание – это колебание, которое совершается по закону х = Acos(ωt + ).

Амплитудой колебания называется максимальная величина смещения =А.

Фазой колебания называется аргумент , определяющий долю (равную cos ), которую смещение х составляет от максимально возможного; –начальная фаза колебаний.

Период колебания Т – время полного колебания.

Циклическая частота: .

Скорость движения колеблющейся точки:

.

Ускорение движения колеблющейся точки:

.

Гармонический осциллятор – это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x

F = – k x,

где k – положительная константа, описывающая жёсткость системы. Т.к. данная функциональная зависимость подобна закону Гука, возвращающую силу F называют квазиупругой.

Динамическое уравнение колебательного движения: дифференциальное уравнение 2-го порядка .

Физический маятник – осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Циклическая частота колебаний физического маятника массой m: , где – расстояние от оси до центра масс, – момент инерции тела относительно оси колебаний.

Математический маятник – материальная точка массой т, подвешенная на длинной невесомой, нерастяжимой нити, совершающая колебания в поле сил тяжести. Циклическая частота малых колебаний математического маятника

.

Циклическая частота пружинного маятника:

.

Кинетическая энергия гармонического осциллятора:

.

Потенциальная энергия:

Полная энергия:

.

При сложении одинаково направленных колебаний равной частоты получается гармоническое колебание такой же частоты , амплитуда которого

и начальная фаза .

При сложении одинаково направленных колебаний с близкими частотами уравнение результирующего колебания

.

Такое колебательное движение с периодически меняющейся амплитудой называется биениями.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты уравнение траектории

.

Вид траектории зависит от разности начальных фаз .

При разных частотах складывающихся колебаний вид траектории (фигура Лиссажу) зависит как от , так и от соотношения частот. Задачи на нахождение уравнения траектории у(х) решаются путем исключения параметра времени t из уравнений х(t) и у(t).

Уравнение затухающих колебаний:

, где – коэффициент затухания.

В случае если решение дифференциального уравнения имеет вид: , здесь – амплитуда затухающего колебания, – циклическая частота затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

æ.

Время релаксации (время, в течение которого амплитуда уменьшается в ехр раз): . – число колебаний, происшедших за время релаксации. æ .

Таким образом æ – это физическая величина обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз.

Добротность системы при малом затухании:

= ^π/æ = πN .

Энергия колебательной системы уменьшается со временем, тогда изменение энергии за время одного периода определяется добротностью системы .

Колебания под действием внешней периодической силы с частотой : F_вын = F₀ cos t будут вынужденными. Дифференциальное уравнение таких колебаний

.

Решение такого уравнения представляет собой сумму х = х_своб(t)+х_вын(t).

Свободные колебания х_своб(t) будут происходить с частотой и затухнут по истечении времени релаксации, а вынужденные х_вын(t) будут установившимися через время τ с частотой :

,

где А – амплитуда вынужденных колебаний и – сдвиг фазы между действием вынуждающей силы и вынужденным колебанием, которые находят по формулам:

;

.

Резонанс: резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний в области, где ≈ . _рез= .

Максимальная амплитуда резонанса

, т.к. ,

то – добротность (показывает во сколько раз амплитуда резонанса больше статического смещения системы под действием силы F₀).

Задачи данной темы решаются строго по определениям и не требуют алгоритмов.

Задания по теме.

Ситуация 1-А. Шарик массой т = 100 г закреплен на пружине жесткостью k = 15,775 Н/м горизонтально. Его вывели из положения равновесия на 5 см и отпустили.

Ситуация1-Б. Шарик массой т = 100 г закреплен на пружине горизонтально. Его вывели из положения равновесия, сообщив дополнительную энергию Е = 20 мДж. Максимальная сила, действующая на шарик F_max = 1 Н.

Найти:

1. Период колебаний шарика.

2. Частоту колебаний.

3. Уравнение движения шарика и смещение через 1 с от начала движения.

4. Уравнение скорости и скорость через 5,5 с движения.

5. Уравнение ускорения и ускорение через 5,5 с движения.

6. Силу, действующую на шарик через 4,5 с от начала движения.

7. Полную энергию шарика относительно положения равновесия.

8. Кинетическую энергию через 5 с от начала движения.

9. Потенциальную энергию через 5 с от начала движения.

Задача 2. Найти уравнение результирующего колебания в случае сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями

Задача 3. Найти и нарисовать уравнение траектории колебательного движения, полученного при сложении взаимно перпендикулярных колебаний

Ситуация 4. Шарик массой т = 100 г, подвешенный на пружине жесткостью k = 3,944 Н/м, поместили в сосуд с маслом. Коэффициент сопротивления среды r = 0,02 кг/с. Затем шарик вывели из положения равновесия на 5 см и отпустили.

Найти:

1. Коэффициент затухания.

2. Период собственных колебаний.

3. Период затухающих колебаний.

4. Декремент затухания.

5. Во сколько раз изменится амплитуда колебаний за время пяти полных колебаний.

6. Сколько колебаний совершит шарик за время релаксации.

7. За какое время энергия шарика уменьшится в 8 раз.

Ситуация 5. На некоторый физический маятник массой m = 100 г, собственная частота колебаний которого = 2π начинает действовать периодическая внешняя сила

а) , Н; б) , Н; в) , Н.

Коэффициент сопротивления среды r = 0,2 кг/с.

Найти:

1. Амплитуду установившегося колебательного движения.

2. Сдвиг фазы между колебаниями и действием силы.

3. Уравнение вынужденных колебаний.

4. Резонансную частоту.

5. Амплитуду резонанса.