Тема 1 кинематика поступательного

ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Радиус-вектор точки – вектор, проведенный из начала системы отсчета к точке.

Компоненты радиус-вектора это проекции радиус-вектора на оси ОХ, ОY, OZ декартовой системы координат. (или i, j, k) – орты (единичные вектора) направлений Х, Y, Z.

Описать движение тела означает указать для каждого момента времени положение в пространстве и скорость тела, т.е. задать кинематическое уравнение движения материальной точки: , или .

Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки, численно равный модулю приращения радиус-вектора за промежуток времени .

Средняя скорость – вектор, численно равный отношению перемещения к промежутку времени , за которое совершено данное перемещение .

Мгновенная скорость тела – векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиус-вектора, численно равная производной радиус-вектора по времени:

или .

Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение тела – векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости, численно равная производной скорости по времени, или второй производной радиус-вектора по времени:

или .

Так как скорость может меняться как по величине, так и по направлению, ускорение при криволинейном движении имеет две составляющие:

тангенциальное ускорение – определяет изменение скорости по величине (направлено по касательной к траектории);

нормальное ускорение – определяет изменение скорости по направлению (направлено вдоль радиуса R кривизны траектории к центру окружности).

Полное ускорение ; его модуль (численное значение) .

Траектория – линия, описываемая точкой в пространстве при её движении (зависит от выбора системы отсчета).

Путь – длина траектории (сумма всех длин участков траектории), пройденной точкой за рассматриваемый промежуток времени: .

Средняя путевая скорость – скалярная величина численно равная отношению пройденного пути S ко времени движения : .

Если по одной из осей координат движение равноускоренное (а_х = const), то уравнение составляющей скорости можно найти следующим образом:

,

где – константа интегрирования, которую находят из начальных условий (скорость в начальный момент времени).

Тогда уравнение движения вдоль этой же оси:

,

где х₀ – координата в начальный момент времени.

Скорость считается положительной, если направление движения совпадает с направлением выбранной оси и отрицательной, – если не совпадает. Чего нельзя сказать об ускорении: его знак определяет вид движения (ускоренное при положительном значении или замедленное – при отрицательном).

Если знаки скорости и ускорения различны, это означает, что в процессе своего движения материальная точка будет останавливаться, т.е. в некоторый момент времени t´ υ = 0. В этом случае для прямолинейного движения результирующий путь находят как сумму участков пути до остановки и пути от остановки до текущего момента времени.

В случае двухмерного движения подобные уравнения для скорости и координаты по оси ОY будут иметь вид:

и .

Задачи на определения.

Задача 1. При прямолинейном движении материальной точки зависимость координаты х от времени t даётся уравнением: а) , м; б) , м.

Задача 2. При криволинейном движении радиус-вектор материальной точки определяется выражением:

а) , м; б) , м.

Найти:

1. Уравнение скорости частицы и её значение в момент времени t = 5 с.

2. Уравнение ускорения частицы и его значение в момент времени t = 5 с.

3. Перемещение точки за первые 10 с движения.

4. Среднюю скорость за первые 10 с движения.

5. Среднюю скорость за 5-ую секунду движения.

6. Определить момент времени, когда скорость равна нулю. Найти координату в этот момент времени.

7. Путь точки за первые 10 с движения.

8. Среднюю путевую скорость за 10 с от начала движения.

Задача 3. Скорость материальной точки меняется по закону

а) , м/с; б) , м/с.

Найти:

1. Уравнение движения , если в начальный момент времени точка имела координаты (2, –3) м.

2. Вектор перемещения частицы и его модуль Δr за первые 2 секунды движения.

3. Среднюю скорость за 2 с.

4. Модуль скорости υ в момент времени t = 2 с.

5. Ускорение частицы и его модуль a.

Задания по теме.

Ситуация 1. С башни высотой Н = 100 м горизонтально брошен камень со скоростью υ₀ = 15 м/с.

Ситуация 2. С башни высотой Н = 80 м вверх под углом α = 35˚ к горизонту брошен камень со скоростью υ₀ = 15 м/с.

Ситуация 3. Камень брошен вниз с вертолета, движущегося поступательно на уровне 500 м со скоростью υ₀ = 15м/с.

Ситуация 4. Камень бросили с уровня земли под углом α = 60˚ к горизонту со скоростью υ₀ = 30 м/с.

Записать: Кинематическое уравнение движения камня .

Уравнение скорости .

Уравнение траектории камня у(х).

Найти:

1. Какое время t камень будет в движении.

2. На каком расстоянии S от основания башни упадет он на землю.

3. Скорость камня υ через 2 с движения.

4. Какой угол составит траектория камня с горизонтом через 3 c движения? В момент падения?

5. Нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с движения.

6. Радиус кривизны R траектории камня через 2 с движения.