Алгоритм решения задач по динамике.

1. В соответствии с условием схематически нарисуйте движущееся тело.

2. Обозначьте все силы, действующие на тело. Точка приложения сил – центр инерции.

3. Выберите систему координат, начало которой совпадает с центром инерции, ось ОХ – с направлением движения, ОY – перпендикулярная ОХ.

4. Если направление силы не совпадает с направлением выбранных осей, определите проекции силы на оси.

5. Запишите уравнение 2-го закона Ньютона в векторном виде и в проекциях на оси координат. Если сила по направлению не совпадает с осью координат, её пишут со знаком минус.

Пример: движение тела вверх с ускорением по наклонной плоскости (Рис. 2.5). Основное уравнение в векторной форме:

.

В проекциях:

Из второго уравнения

.

Сила трения

.

Далее можно из этих уравнений находить неизвестные согласно условию.

• Если тело покоится на наклонной плоскости, то сила трения направлена против проекции силы тяжести на направление возможного движения.

• Учтите, что для горизонтальной плоскости можно пользоваться этими же уравнениями, только α = 0º.

• Если движутся тела, связанные в систему, то уравнение движения записывается для каждого из тел. Связывать эти уравнения будет только сила натяжения сцепки (внутренняя сила взаимодействия), приложенная к каждому из тел. Оси координат и их направление для каждого тела могут быть при этом независимыми друг от друга.

Тема 3 кинематика и динамика

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Угловое перемещение – псевдовектор, численно равный углу поворота радиус-вектора точки за время Δt и направленный в сторону поступательного движения правого винта, если вращение ручки винта совпадает с направлением движения точки.

Угловая скорость: .

Угловое ускорение: .

Линейная скорость связана с угловой скоростью

.

При равномерном вращении вводят следующие характеристики: период Т – время полного оборота,

частота п – количество оборотов в единицу времени: . Угловое перемещение за период , тогда угловую скорость называют: циклическая частота и .

Момент силы относительно точки О – псевдовектор , модуль которого , здесь – радиус вектор точки приложения силы F, α – угол между радиус-вектором точки приложения силы и направлением силы. Вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора по правилу правого винта (при совмещении начала против часовой стрелки поступательное движение винта покажет направление ).

Момент импульса материальной точки – псевдовектор , модуль которого , здесь – радиус-вектор материальной точки. Направление момента импульса перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора по правилу правого винта.

Основное уравнение динамики вращательного движения (закон изменения момента импульса) системы материальных точек , где – момент импульса системы материальных точек или твердого тела, – главный вектор момента внешних сил.

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

Закон является следствием изотропности пространства: при повороте в нем замкнутой системы как целого физические свойства замкнутой системы и законы её движения не изменяются.

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки , где  –  радиус круговой траектории точки. Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения . Момент инерции твердого тела – величина, зависящая от массы и от того, как она распределена вокруг оси вращения, т.е. от формы тела и положения оси вращения.

Теорема Штейнера – момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния d ² между осями J = J_c+md ² _.

кольцо	mR2
диск	1/2 mR2
шар	2/5 mR2
стержень	1/12 ml2

Момент инерции тел правильной формы относительно центра инерции:

Момент импульса тела относительно оси z:

,

где – момент инерции тела, относительно той же оси z, – угловая скорость вращения.

Основное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси:

(если момент инерции тела не меняется со временем).

С учетом последнего уравнения закон сохранения момента импульса применительно к задачам имеет вид:

,

где – моменты инерции составных частей системы, которые вращаются со скоростью .

При свободном вращении тела ось вращения устанавливается так, что проходит через центр инерции и момент инерции относительно этой оси имеет максимальное или минимальное значение.

Задачи на определения.

Задача 1. Материальная точка движется по окружности постоянного радиуса R = 0,2 м так, что её радиус-вектор с некоторым направлением образует угол, меняющийся со временем по закону: а)  = 2t + 0,1 t³ , рад; б)  = 5t – 0,4 t² , рад.

Найти:

1. Угловую скорость движения через 2 с после начала движения.

2. Угловое ускорение движения через 2 с после начала движения.

3. Тангенциальное и нормальное ускорения через 2 с после начала движения.

4. Изменение тангенциального ускорения за единицу времени.

5. Полное ускорение в момент времени t = 2 с.

6. Угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент t = 2 с.

Задача 2. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость углового перемещения дается уравнением:

а) = 6t + 0,05t² , рад; б) = 5t² – 0,1 t, рад.

Найти:

1. Момент инерции диска.

2. Частоту вращения диска через 5 с.

3. Угловое ускорение.

4. Касательную силу F, приложенную к ободу диска.

5. Момент сил торможения М, если через t₁ = 10 с от начала движения касательная сила перестала действовать, а диск остановился за t₂ = 20 с.

6. Сколько оборотов сделал диск до остановки по условию п.5.

Задания по теме.

Ситуация 1. а) колесо; б) диск; в) шар массой m = 4 кг радиусом R = 0,5 м равнозамедленно вращаясь вокруг оси проходящей через центр инерции, уменьшило частоту вращения от п₁ = 300 об/мин до п₂ = 180 об/мин за время t = 1 мин.

Найти:

1. Угловое ускорение колеса (диска, шара).

2. Момент инерции колеса (диска, шара).

3. Момент сил торможения М.

4. Время до полной остановки.

5. Число оборотов N, сделанных колесом (диском, шаром) до остановки.

Ситуация 2. Две гири с массами т₁ = 2 кг и т₂ = 1,5 кг связаны невесомой нерастяжимой нитью и перекинуты через блок массой т = 0,5 кг и радиусом R = 5 см (рис. 2. 1-4). Коэффициент трения гири 2 о поверхность μ = 0,1. Для вариантов

а) трение в блоке отсутствует; б) при вращении действует момент сил трения М_тр = 0,049 Н∙м

Найти:

1. Силу натяжения Т₁ и Т₂ нитей.

2. Ускорение а, с которым движутся гири.