Электронный газ.

Функция распределения электронов по энергии определяет количество частиц в данном энергетическом состоянии:

.

Зависимость от энергии дана на рисунке 18.2. Число электронов заполняющих нижних состояний (заштрихованная площадь) будет

.

Данный интеграл определяет значение E_f.

Энергия Ферми: ,

где – концентрация свободных (валентных) электронов. Она связана с концентрацией атомов через валентность.

Полная статистическая функция распределения электронов:

.

Средняя энергия свободных (валентных) электронов

.

Температура Т₀, определяемая соотношением , называется температурой вырождения. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Если температура газа Т  > Т₀, то большая часть частиц имеет энергию, значительно превышающую E_f, и принцип Паули перестает заметным образом влиять на состояние газа. .

Зависимость энергии Ферми от температуры:

Молярная теплоемкость электронного газа:

.

Задание по теме.

Определите характерные параметры металлов и неизвестные согласно варианту, считая известными параметры из таблицы условия (табл.18.1).

1. Скорость акустических волн в кристалле.

2. Концентрацию атомов кристалла.

3. Максимальную частоту колебаний кристаллической решетки.

4. Температуру Дебая .

5. Максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле.

6. Энергию нулевых колебаний.

7. Вычислить среднее значение энергии нулевых колебаний, приходящееся на один осциллятор кристалла.

8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм кристалла.

9. Оценить максимальное значение p_m импульса фонона. Фотон какой длины волны обладает таким же импульсом?

10. Определить фононное давление р при температуре Т = .

11. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т = 0,1 .

12. Количество теплоты, необходимое для нагрева массы т = 10 г от Т₁ = 10 К до Т₂ = 20 К. Считать Т <<  .

13. Количество теплоты, необходимое для нагрева 10 г кристалла на 2 К от температуры Т =  /2.

14. Энергию Ферми.

15. Давление электронного газа.

16. Среднюю скорость валентных электронов.

17. Оценить температуру Т₀ вырождения.

18. Молярную теплоемкость электронного газа.

19. Чему равна вероятность W того, что в состоянии с энергией, равной энергии Ферми Е_f будет находиться свободный электрон? Чему при этом равно среднее число свободных электронов, находящихся на этом энергетическом уровне?

20. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от Е_f /2 до Е_f , больше числа электронов с энергией от 0 до Е_f /2.

Таблица 18.1

	Металл	Е, ГПа	G, ГПа	μ, кг/моль	ρ,103кг/м3	валент-ность
1 2 3 4 5 6 7 8	Медь Серебро Свинец Алюминий Кобальт Никель Титан Золото	110 80 18 70 207 205 118 77	44,7 29,2 5,7 26 47 73 41 25	0,0635 0,1078 0,2072 0,02698 0,0589 0,0587 0,0479 0,1969	8,92 10,49 11,34 2,7 8,79 8,9 4,51 19,32	1 1 2 3 2 2 2 1