Тема 18 квантовые статистики. Элементы физики твердого тела

Описание систем, состоящих из огромного числа квантовых частиц возможно лишь статистическими методами.

Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц, причем для частиц с целым и полу целым спином функции распределения должны быть различны, так как тип симметрии волновых функций определяет число различных состояний. В итоге существует две квантовые статистики: Ферми-Дирака для частиц с полуцелым спином (пси-функции которых антисимметричные⁶) – частицы называют фермионами и Бозе-Эйнштейна для частиц с целым спином, в том числе и нулевым (пси-функции которых симметричные⁷) – частицы называют бозонами.

Система квантовых частиц определяется количеством частиц в каждом энергетическом состоянии N₁, N₂,…N_n,…, называемым числами заполнения состояния.

Среднее число заполнения:

(18.1)

– количество частиц, которые могут находиться в состоянии с энергией Е_п.

Возможны два варианта:

N₁ + N₂ +…+ N_n,+…= N (18.2)

N₁ + N₂ +…+ N_n,+…= 0 или 1 (18.3)

1-ое уравнение разрешает всем частицам быть в одном и том же энергетическом состоянии. 2-ое – предполагает выполнение принципа Паули (не более одной частицы).

После преобразований (18.1) с учетом (18.2) получена функция распределения Бозе-Эйнштейна:

,

где  – химический потенциал – показывает, как изменяется распределение частиц при добавлении к ним еще одной. 0, так как в противоположном случае при Е   оказалось бы отрицательным. Для системы с нефиксированным числом частиц (фотоны, фононы рождаются и умирают)  = 0.

Функция распределения Ферми-Дирака при Т = 0 получается из уравнения (18.1) с учетом (18.3):

= .

З десь Е_f  =  – энергия Ферми – нормировочная константа, зависящая от плотности состояний (в непрерывном приближении).

Смысл такой функции распределения (Рис.18.1) в том, что вероятность заполнения энергетических уровней с энергией больше энергии Ферми при абсолютном нуле равна нулю. Таким образом, энергия Ферми это максимальная кинетическая энергия электронов при 0К.

При Т  0 при Е =Е_f f(E) = 1/2 и резкий край функции распределения «размывается» на «длине» порядка kT. Это означает, что за счет тепловой энергии происходит переход с нижних к свободным высшим энергетическим состояниям.

Если распределение Ферми-Дирака представить в виде , где – параметр вырождения, то в зависимости от соотношения Т и Е_f , квантовая статистика может перейти в статистику Больцмана. При энергиях (Е - Е_f )  kT А  1, т.е. kT  Е_f (высокие температуры) – газ квантовых частиц невырожденный и подчиняется классической статистике. Если же kT  Е_f (низкие температуры) газ называется вырожденным и при этом существенна квантованность.

Применение статистик:

Фононный газ. Теплоемкость кристаллической решетки.

В газах частицы одновременно выполняют две функции: они являются «кирпичиками» самого вещества газа, т.е. выполняют функцию структурных единиц системы, и одновременно являются носителями движения в этой системе. В твердом теле эти две функции разделяются: атомы, молекулы или ионы представляют собой структурные единицы твердого тела, а квазичастицы – фононы – структурные единицы колебательного движения в твердом теле. Так как кристалл представляет систему N упруго связанных атомов, обладающих 3N степенями свободы, в нем распространяется 3N независимых волн, которые, доходя до поверхности кристалла, отражаются, образуя систему стоячих волн. Механизм образования этих волн аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их называют акустическими (скорость их распространения такая же, как и для звука). Энергия тепловых акустических волн квантована. Порция такой энергии называется фононом.

Так как фононы, распространяясь в кристалле, рассеиваются при встрече друг с другом и с дефектами решетки, это единственный вид частиц, для которых не выполняется закон сохранения импульса. Поэтому их импульс называют квазиимпульсом.

Квантование колебательной энергии .

Энергия кристалла: , где – энергия нулевых колебаний (так называемое нулевое движение, которое не имеет дискретных характеристик).

Длина фононных волн не может быть меньше , где – постоянная решетки. Следовательно, существует некоторая максимальная частота нормальных колебаний решётки:

(здесь – число атомов в единице объёма ).

Число стоячих волн в интервале в единице : (число 3 учитывает поляризацию упругих волн: 1 продольная + 2 поперечных). Скорость , где – некоторая усредненная скорость акустических волн (этот факт определяет недостаток теории Дебая); и – скорость продольной и поперечной волны в кристалле, соответственно; G и E – модули продольной и поперечной упругости; ρ – плотность вещества.

Энергия единицы объема кристалла

,

где – энергия нулевых колебаний.

Молярная энергия нулевых колебаний .

Теплоёмкость :

,

где .

Величину называют характеристической температурой Дебая. Она указывает температуру, ниже которой становятся существенными квантовые свойства вещества.

С учётом : . Данное выражение можно частично интегрировать и для решения задач использовать формулу для молярной теплоемкости:

Здесь интеграл рассчитывается методом численного интегрирования⁸.

Предельные случаи: при Т   молярная теплоемкость не зависит от температуры – закон Дюлонга-Пти;

при Т   – закон кубов Дебая.