Пример решения ситуации 1 п.6.

Определить плотность вероятности электрона в потенциальной яме шириной в интервале ¼ l. Электрон находится в первом возбужденном состоянии.

По определению . Пси-функция электрона в потенциальной яме , где для возбужденного состояния n = 2. Таким образом .

Преобразуем и возьмем интеграл:

Схематически данный ответ является заштрихованной площадью на рисунке плотности вероятности нахождения электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Ответ: W = 0,25.

Тема 17 квантовая механика. Строение атома. Спектры

Постулаты Бора (полуклассическая теория атома водорода):

1. Атомная система может находиться только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E_n. В стационарном состояние атом энергию не излучает.

2. При переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается квант электромагнитного излучения. Энергия фотона равна разности энергий атома в двух стационарных состояниях h v = (E_m – E_n) , где h – постоянная Планка.

Состояние с минимальной энергией называется основным, остальные – возбужденные. Время жизни атомов в возбужденных состояниях обычно не превышает 10^-8 ÷ 10^-7 с.

Правило квантования орбит: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите должен иметь квантованное значение момента импульса

.

Энергия электрона в атоме

, где n = 1,2,3….

Сериальная формула (обобщенная формула Бальмера) определяет частоту излучения спектральных линий атомов:

,

где постоянная Ридберга R = 2,07·10¹⁶ с^-1, n – уровень на который переходит электрон из возбужденного состояния, соответствующего квантовому числу m.

Для видимого диапазона спектра

, где λ – длина волны излучения,

R' = 1,097·10⁷ м^-1 .

Н а рис. 17.1 показаны возможные переходы электрона с уровня на уровень. Они образуют серии – совокупность линий, объединенных номером уровня, на который происходит переход с более высоких энергетичес-ких состояний.

УФ – ультрафиолетовая область   излучений,

ИК–инфракрасное излучение.

Уравнение Шредингера для атома водорода

,

Его решение представлено тремя независимыми пространственными координатами в сферической системе (Рис.17.2): r – радиус сферы, θ – полярная координата, – азимутальная.

Каждая из функций квантована, т.е. зависит от некоторого целого числа, которое называется квантовым.

R(r) – радиальная часть определяется главным квантовым числом n, от которого зависит энергия электрона n = 1,2,3…

.

Θ(θ) – полярная часть определяется орбитальным квантовым числом l , принимающим значения l = 0,1,…(n-1). В свою очередь l определяет момент импульса электронной волны в атоме . Квантовым числам l присвоены символы s, p, d, f, g по порядку от 0 и далее.

Φ( ) – азимутальная часть, определяется магнитным квантовым числом m_l, принимающим значения m_l = 0,±1,… ± l В свою очередь m_l определяет проекцию момента импульса на направление внешнего магнитного поля .

Совокупность квантовых чисел определяет конфигурацию электронного облака. Кратность вырождения энергетического уровня (число состояний с одинаковой энергией, или число независимых решений равнения Шредингера)

.

Пси-функция основного состояния электрона в атоме водорода , где .

Плотность вероятности электронной волны в сферическом слое dr: .

Гиромагнитное отношение , где – магнитный момент электрона в атоме, L – механический момент электрона, е – заряд, т_е – масса электрона.

, где Дж·Тл^-1 – магнетон Бора.

Спин электрона (s)– внутреннее свойство квантовой частицы, характеризующее её равноправно с массой и зарядом. Классического аналога не имеет. Спиновое квантовое число принимает значение s = ½, оно определяет спиновый момент импульса электрона . Проекцию спинового момента импульса на направление внешнего магнитного поля определяет число m_s = ±½ , тогда . Спином объясняются дублеты в атомных спектрах.

Правила отбора – допустимыми (с максимальной вероятностью) будут переходы электрона с уровня на уровень, если изменения квантовых чисел соответствуют и =0, или .

Принцип Паули: в любом квантовом состоянии, которое описывается квантовыми числами n, l, m_l ,s может находиться только один электрон.

Задания по теме.

Ситуация 1. Атом водорода находится в основном состоянии, которое описывается собственной пси-функцией , где .

1. Найти из условия нормировки постоянную С.

2. Определить расстояние, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

3. Определить среднее расстояние электрона от ядра.

4. Определить отношение вероятностей пребывания электрона в сферических слоях толщиной и радиусами и .

5. Вычислить вероятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу.

6. Вычислить вероятность того, что электрон находится вне области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу.

Ситуация 2. Электрон в атоме водорода.

1. Определить энергию первых четырех энергетических уровней. Начертить схему уровней и подуровней (различие по орбитальным квантовым числам), указав на ней возможные переходы.

2. Определить наибольшую (наименьшую) длину волны излучения в серии Лаймана (Бальмера, Пашена).

3. Если при возбуждении атома в спектре видны только три линии, то каким переходам они соответствуют? Найти длины волн этих спектральных линий.

4. Определить первый потенциал возбуждения атома.

5. Как изменился момент импульса электрона, если

а) в основном состоянии электрон поглотил фотон с энергией 10,3 эВ;

б) находясь в р-состоянии, электрон поглотил фотон с энергией 1,89 эВ;

в) электрон находился на 3-ьем энергетическом уровне и перешел в основное состояние (учтите правила отбора).

6. Сколько различных состояний может быть у электрона при п = 2, (3; 4) ?

7. Чему будет равно максимальное значение проекции момента импульса электрона в р-состоянии (d- , f- состоянии)? Чему при этом равен угол между моментом импульса электрона и внешним магнитным полем ?

Задача 3-1. Найти число электронов в атомах, у которых в основном состоянии заполнены:

а) К- и L- слои, 3s-оболочка и наполовину 3р-оболочка;

б) К-, L - и М- слои и 4s – и наполовину 4р- оболочки;

в) К-, L - и М- слои и 4s -, 4р- и 4d - оболочки;

какие это атомы ?

Задача 3-2. Записать формулы электронного строения атомов, порядковый номер которых см. по варианту.