Тема 16 квантовая механика. Простейшие случаи движения микрочастиц

Гипотеза де Бройля: частицы вещества, обладающие энергией Е и импульсом р, наряду с корпускулярными свойствами имеют и волновые свойства, характеризующиеся параметром: длина волны до Бройля

(в классическом приближении);

или (в релятивистском).

Принцип неопределенностей Гейзенберга: в квантовой механике существуют пары величин (сопряженных) точность определения одной из которых, определяет точность определения другой. Например, при уменьшении области локализации частицы в пространстве увеличивается неопределенность в значении её импульса ; или: определение энергии частицы с точностью до занимает временной интервал .

Волновая функция (пси-функция) – описывает волновые свойства микрочастицы (амплитуда вероятности). Физический смысл имеет – плотность вероятности нахождения электрона в определенной области пространства.

Вероятность обнаружить частицу в объёме V:

.

Условие нормированной пси-функции .

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний: .

Решение данного уравнения для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме шириной l и бесконечно высокими стенками (потенциальная энергия на стенках ямы бесконечно большая) имеет вид и существует только при условии квантования энергии электрона:

.

Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины: , где волновые числа

и .

Коэффициент отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через низкий потенциальный барьер бесконечной ширины

.

Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины d (вероятность прохождения через барьер) .

Задания по теме.

Ситуация 1. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной l = 0,5 нм с бесконечно высокими стенками.

1. Используя соотношение неопределенностей, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию электрона.

2. Вывести формулу зависимости длины волны де Бройля от номера энергетического уровня, на котором находится электрон.

3. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций , описывающих состояние электрона, а также вид .

4. В каких точках внутри ямы плотность вероятности нахождения частицы максимальна (минимальна) если электрон находится на п = 2 ( 3 или 4 ) энергетическом уровне?

5. В каких точках плотность вероятности электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

6. Какова вероятность нахождения частицы: а) в средней трети ямы; б) в крайней трети ямы; в) в крайней четверти ямы; г) в интервале ¼ l, равноудаленном от стенок ямы; если она находится а) в основном состоянии; б) в первом возбужденном.

7. Определить наименьшую разность ΔΕ_n,n+1 энергетических уровней.

8. Н айти выражение для отношения разности соседних энергетических уровней ΔΕ_n,n+1 к энергии частицы E_n. *Провести анализ: существенно ли квантование энергетических уровней для данного электрона (при каких п квантованием можно пренебречь, если считать, что отношение должно быть порядка 0,01? реализуется ли такое состояние?). Провести аналогичный анализ для молекулы кислорода при нормальных условиях, если l ~10 см.

Ситуация 2. Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер бесконечной ширины высотой U = 9 эВ.

Определить:

1. Длину волны де Бройля электрона в области I и II.

2. Коэффициент преломления п волн де Бройля на границе потенциальной ступени.

3. Коэффициент отражения ρ (вероятность отражения электрона от потенциальной ступени).

4. Коэффициент прохождения τ (вероятность прохождения над ступенью).

5. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения τ через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля.

6. Определить для данной энергии Е значение потенциальной энергии U₁, при которой коэффициент отражения ρ равен коэффициенту прохождения τ.

Ситуация 3. Электрон движется со скоростью υ = 5·10⁶ м/с и попадает на потенциальный барьер высотой U = 72 эВ и шириной d = 0,5 нм.

Найти:

1. Энергию электрона.

2. Вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер.

3. Во сколько раз изменится вероятность прохождения через потенциальный барьер, если скорость электрона уменьшить в 1,5 раза?

4. Во сколько раз изменится вероятность прохождения через потенциальный барьер, если высота потенциального барьера уменьшится на 1 эВ?