Пример решения

Выберем условие: рис.12.2, замкнуты оба ключа.

Д анный вариант интересен тем, что ток через сопротивление R₃ идти не будет, т.к. оно замкнуто нáкоротко. Перечертим схему (рис.12.7) и укажем направления токов в ветвях (придерживаемся того, что ток идет от плюса к минусу источника тока) и направление обхода контуров (выбираем произвольно, но

разумным будет направление, сов-

падающее с направлением тока) .

П. 1. Так как в электрической схеме всего 2 узла (точки А и В) достаточно записать одно уравнение первого правила. Ток I₁ входит в узел А, а токи I₂ и I₃ выходят, таким образом в уравнении они будут с разными знаками: .

Выбираем контуры для записи уравнений второго правила:

Контур А,R_2,В,R₁, . Токи совпадают с направлением обхода, поэтому все составляющие со знаком "+" :

.

(Не забываем учитывать сопротивления источников тока!) Контур А, ,В,R₂: Ток I₂ течет навстречу обходу контура:

. В итоге получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

Систему легче будет решать, если подставить числа из условия:

Определитель системы: D = .

Дополнительные определители:

;

; .

В итоге = 4,78 А, = – 0,48А и = 5,26А. Знак "–" у тока I₂ означает , что ток течет от узла В к узлу А.

Падения напряжения (по закону Ома)

на сопротивлении R₁ (В),

на сопротивлении R₂ (В).

П. 2. Полезную мощность определяем по закону Джоуля-Ленца

(Вт)

П. 3. Полная мощность источников тока

(Вт)

Тема 13 электромагнетизм

Магнитное поле создают движущиеся заряды или переменное (вихревое) электрическое поле.

Расчет и характеристики индукции магнитного поля:

З акон Био–Савара (определяет величину и направление вектора магнитной индукции, создаваемой заданным током I):

.

Единица измерения [В] = Тл (Тесла).

Постоянная μ₀ определяется выбором единиц измерения электрических и магнитных величин и называется магнитной постоянной. В СИ μ₀ = 4π ·10^–7 Тл·м·А^-1 .

Силовая линия магнитного поля в точке расположенной на расстоянии от элемента dl тока I – замкнутая окружность радиуса R = r sinα с центром, лежащим на линии тока (рис.13.1). Направление силовых линий определяется по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением электрического тока, то направление вращения рукоятки винта показывает направление индукции магнитного поля.

И ндукция магнитного поля на оси кругового тока (рис.13.2):

,

где R – радиус витка с током I,

a – расстояние от центра витка до точки на оси.

Направление этого вектора совпадает с направлением нормали к плоскости кругового тока площадью S, тогда

.

На больших расстояниях от кольца с током ( a >>R ) и в его центре: .

М агнитное поле тока конечной длины:

,

где а – кратчайшее расстояние из точки до тока, и – углы, под которыми видны концы провода из точки, в которой определяется поле.

Если расстояние а гораздо меньше длины провода с током, то его считают бесконечно длинным, тогда .

Поток вектора магнитной индукции через элементарный элемент поверхности dS: .

Полный поток через замкнутую поверхность S:

, где – нормаль к площадке dS.

Единица измерения магнитного потока [Ф] = Вб (Вебер).

Теорема Гаусса: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: .

Циркуляцией вектора называется скалярная величина:

.

Закон полного тока: циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную:

.

Магнитный момент тока: , где S – площадь, которую охватывает замкнутый ток I , – нормаль к площади S.

Так как возникновение магнитного поля обусловлено движением частиц, имеющих массу, существует связь магнитного момента и механического момента импульса, так называемое Гиромагнитное отношение: , где – механический момент импульса движущегося заряда.

Напряженность магнитного поля – величина, не зависящая от магнитных свойств среды : , где μ – магнитная проницаемость среды.

Парамагнетики – слабомагнитные вещества, во внешнем магнитном поле намагничиваются по полю μ >1.

Диамагнетики – слабомагнитные вещества, во внешнем магнитном поле намагничиваются против поля μ <1.

Ферромагнетики – вещества, способные обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля

Действие магнитного поля:

1. На рамку площадью S с током I, помещенную во внешнее магнитное поле, действует момент силы, стремящийся повернуть эту рамку и установить её перпендикулярно полю:

, .

Силовая характеристика магнитного поля – вектор магнитной индукции: величина, численно равная отношению максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещенную в однородное поле, к её магнитному моменту.

2. На проводник с током, в магнитном поле действует сила, направление и величина которой определяется законом Ампера:

, .

Направление силы Ампера (правило левой руки): если левую руку расположить так, чтобы линии индукции магнитного поля входили в ладонь, а четыре пальца были по направлению тока, то отогнутый

большой палец покажет направление действия силы Ампера.

3. На точечный электрический заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле индукцией В, со стороны поля действует сила Лоренца:

, .

В общем случае, когда начальная скорость частицы не перпендикулярна магнитной индукции, частица движется по винтовой линии (траектория навивается на силовые линии поля). Радиус винтовой траектории в этом случае , а шаг (здесь Т – время полного оборота).

Сила Лоренца является центростремительной и работы не производит.

Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле:

.

Работу совершают либо сторонние силы, либо механические силы, перемещающие проводник.

Явление электромагнитной индукции: в замкнутом проводящем контуре возникает ток при изменении (по любой причине) потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром. Т.е. магнитный поток должен быть функцией времени: Ф_В = Ф (t).

Закон Фарадея: ЭДС индукции в замкнутом контуре равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока магнитной индукции через этот контур: .

Знак "–" в этой формуле соответствует правилу Ленца: магнитное поле возникающего индукционного тока всегда противодействует тому изменению магнитного потока через контур, которое вызвало этот ток.

Так как магнитное поле не может заставить двигаться электрические заряды, то появление индукционного тока в цепи обусловлено возникновением индуцированного электрического поля. Особенностью этого поля является то, что его силовые линии замкнуты (силовые линии обычного электрического поля всегда начинаются и заканчиваются на зарядах). Поэтому индуцированное электрическое поле называют вихревым электрическим полем по аналогии с магнитным полем. Итак, закон электромагнитной индукции можно переформулировать иначе – переменное магнитное поле порождает переменное вихревое электрическое поле:

.

При отсутствии внешнего магнитного поля ток, текущий по проводнику, создает вокруг себя магнитное поле. Если ток некоторым образом замкнут, то полный поток (потокосцепление) через эту замкнутую поверхность: Ψ = LI. Коэффициент пропорциональности L между магнитным потоком в контуре и возникающим в контуре током называется коэффициентом самоиндукции, или просто индуктивностью контура.

Явление самоиндукции: если ток в контуре переменный, то в нем возникает ЭДС самоиндукции

.

Размерность индуктивности: [L] = В· с·А^-1= Гн (Генри).

Соленоид – совокупность N витков, намотанных на общий каркас площадью сечения S и длиною l, с током одного направления. Для него полный поток индукции магнитного поля или потокосцепление:

,

где п – количество витков на единице длины.

Индуктивность соленоида: .

Здесь μ – магнитная проницаемость ферромагнитного сердечника соленоида.

Энергия W_м тока: W_м = LI²/2.

Так как индукционный ток порождается вихревым электрическим полем, которое, в свою очередь, порождается изменением магнитного поля, то последнюю формулу следует понимать как формулу для энергии магнитного поля, создаваемого этим током. Через характеристики поля энергия магнитного поля соленоида: , где V – объём соленоида.

Плотность энергии магнитного поля: ,

где В – индукция, Н – напряженность магнитного поля.

Задания по теме.

Ситуация 1. Определить индукцию магнитного поля в точке согласно варианту (рис.13.1-5), если в проводнике 1 течет ток I₁ = 10 А, а в проводнике 2 I₂ = 20 А.

Геометрические размеры: I₁А = I₂А = I₂В = I₂С = 10 см; радиусы круговых элементов токов R = 10 см; на рис.13.3 расстояние I₁О = 20 см.

Рисунки 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Ситуация 2. Заряд Q = 80 нКл равномерно распределен

1. по тонкому кольцу радиусом 10 см;

2. по стержню длиной 20 см;

3. по диску радиусом 10 см;

4. по тонкой спирали из 5 витков радиусом 15 см;

которые вращаются вокруг оси, проходящей через центр инерции перпендикулярно плоскости вращения с частотой п = 10 с־¹.

Найти магнитный момент р_т, обусловленный вращением заряженного тела.

Ситуация 3-А. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ и влетел в однородное магнитное поле индукцией В = 35 мТл под углом α = 30° ; 60° ; 90° .

Ситуация 3-Б. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 5 кВ и влетел в конденсатор вдоль его оси. Напряженность поля конденсатора Е = 10 кВ/м, длина конденсатора по оси 5 см. Выйдя из конденсатора он попал в однородное магнитное поле индукцией В = 50 мТл, направленное перпендикулярно электрическому полю.

Найти:

1. Скорость, с которой электрон будет двигаться в магнитном поле.

2. Параметры траектории: радиус R и шаг h.

3. Период вращения электрона T.

4. Силу эквивалентного кругового тока I_экв, создаваемого движением электрона в магнитном поле.

5. Магнитный момент р_т эквивалентного кругового тока I_экв .

Ситуация 4. Из медной проволоки сечением 2 мм² и длиной 1м сделан контур

а) квадратный; б) круглый; в) спираль из 2 витков;

который находится в магнитном поле индукцией В = 5 мТл так, что линии индукции составляют с плоскостью контура угол α =  30° ; 45°; 60°; 90° .

Найти:

1. Магнитный поток через контур.

2. Работу, которую нужно совершить, чтобы повернуть нормаль контура на 90°, если по проволоке идет ток I = 5 А.

3. Заряд q, который протечет по проволоке, если:

а) выключить магнитное поле;

б) повернуть контур вокруг диаметра на 60°;

в) дернуть за концы, расправив проволоку.

4. Максимальную ЭДС, которая индуцируется в контуре, если его заставить вращаться вокруг одного из диаметров с угловой скоростью = 50 рад/с.

5. Среднюю ЭДС, которая индуцируется в контуре за время t = ¼ Т, если его заставить вращаться вокруг одного из диаметров с угловой скоростью = 50 рад/с.

Ситуация 5. Из проволоки диаметром d = 1 мм и длиной l = 25 м на каркас диаметром D = 2 см намотан соленоид. По соленоиду течет ток I₀ = 5 А.

Найти:

1. Индуктивность соленоида.

2. Магнитный поток через сечение соленоида.

3. Потокосцепление в соленоиде.

4. Среднюю ЭДС, если ток уменьшается при выключении до нуля за Δt = 0,2 мс.

5. Закон изменения ЭДС, если ток начнет изменяться по закону .