Тема 10 электростатика

Электростатическое поле является особым видом материи, обладающим энергией и распространяющимся со скоростью с = 3·10⁸ м/с (скорость света). Источником электростатического поля являются заряды, самым элементарным (наименьшим) из которых является электрон ( = – 1,6·10^-19 Кл). Антиподом электрона является протон (q = + 1,6·10^-19 Кл). В целом тела электронейтральны, так как в атоме количество электронов равно количеству протонов.

Вектор напряженности электрического поля – силовая характеристика электростатического поля. Вектор численно равен силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд q_о (пробный заряд), помещенный в данную точку поля и направленный в сторону действия силы

.

Графически поле представляют в виде линий напряженностей – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением действия силы на пробный заряд.

Принцип суперпозиции полей: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности

.

Поле точечного заряда центрально симметричное. Оно начинается на положительных зарядах и заканчивается на отрицательных. Напряженность поля на расстоянии r от заряда q:

,

где – диэлектрическая проницаемость среды,

Ф/м – электрическая постоянная.

Закон Кулона: сила взаимодействия точечных зарядов и , находящихся на расстоянии r друг от друга

.

Поле бесконечной² однородно заряженной плоскости , где σ – поверхностная плотность заряда . Линии напряженности перпендикулярны поверхности, параллельные; поле является однородным.

Поле заряженной нити: (рис. 10.1)

,

,

где τ – линейная плотность заряда ,

а – кратчайшее расстояние из точки до нити.

Поле бесконечной³ однородно заряженной нити

, линии напряженности перпендикулярны нити.

Электрическое смещение .

Поток вектора напряженности ,

где – вектор нормали площадки . .

Теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на

.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля . Поле является консервативным (потенциальным) и линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. В этом случае работа электростатического поля совершается за счет уменьшения потенциальной энергии взаимодействующих зарядов: .

Так как по определению работа , то работа перемещения пробного заряда q₀ в поле заряда q из т.1 в т.2

.

Сравнивая с предыдущим утверждением, получаем потенциальную энергию взаимодействия точечных зарядов

.

Потенциал электростатического поля: , где W – потенциальная энергия точечного заряда в электростатическом поле.

Работа электростатического поля: .

Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля ,

где . Знак « – » указывает на то, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.

Разность потенциалов поля точечного заряда:

.

Разность потенциалов однородного поля плоскости, силовые линии которого направлены вдоль ОХ:

.

Разность потенциалов поля бесконечно длинной нити:

.

Задания по теме.

Ситуация. На рисунках показано распределение зарядов в пространстве: бесконечно большая плоскость с поверхностной плотностью заряда σ = 0,5 мкКл/м²; бесконечная заряженная нить с линейной плотностью τ = 30 нКл/м, точечные заряды: q₁ = + 8 нКл, q₂ = – 2 нКл, q₃ = – 7 нКл. Масштаб сетки 1 см.

В точке 1 (А, В, С, D, F) плоскости найти:

1. Напряженность поля и его численное значение Е.

2. Силу , действующую на заряд q = – 3 нКл, помещенный в данную точку.

3. Поток напряженности электрического поля через площадку S = 1 мм², центр которой лежит в т.1, (нормаль площадки направлена вдоль ОХ).

4. Поток напряженности электрического поля через замкнутую сферическую поверхность радиуса 2,5 см (5 см), центр которой находится в т. (А, В, С, D, F).

5. Разность потенциалов поля между точками 1 и 2 (В, С, D, F, А).

6. Работу перемещения заряда q = – 3 нКл из т. 1 в т.2.

7. Какую скорость приобретет заряд q = – 3 нКл при перемещении из т. 1 в т.2, при условии, что в т.1 он покоился, а его масса 5 мг.

Рисунок 10.1

Рисунок 10.2

Рисунок 10.3 Рисунок 10.4

Пример решения.

Составим для себя условие: Рис.10.5. Точку 1 выбираем D , точку 2 – С. Определяем по рисунку расстояния от зарядов до выбранных точек: расстояние от заряда 1 до т. D r₁₁= 4 см, до т. С r₂₁ = 6 см; расстояние от заряда 3 до т. D r₁₃= 3 см, до т. С, r₂₃ = = 5 см. Эти величины будут использоваться при дальнейших расчетах.

Рисунок 10.5

П. 1. По условию источниками электрического поля будут: плоскость, напряженность поля которой определяется по формуле и два точечных заряда, напряженность поля которых определяется по формуле .

По принципу суперпозиции напряженность результирующего поля .

На рисунке покажем направления векторов в т. D. Видим, что и направлены вдоль ОХ, их сумма

направлено вдоль оси ОY, но в противоположную сторону

В итоге .

Модуль .

П. 2. Сила, действующая на заряд со стороны электрического поля напряженностью . Подставим численные значения .

Модуль силы .

П. 3. Поток напряженности . Т.к. по условию площадка S малой величины, её можно считать плоской и угол α между нормалью и не меняется. Тогда поток . В данной задаче , где . В итоге .

П . 4. Пусть центр сферы радиуса 5 см нахо-дится в т.А. Начертим сферу на чертеже условия. Видим, что внутрь сферы попал точечный заряд q₁ и круговой элемент заряжен-ной поверхности. Заряд этого элемента: , где

Рисунок 10.6

Тогда по теореме Остроградского-Гаусса полный поток через данную сферу будет

 (В·м).

П. 5. Потенциал величина скалярная, поэтому для определения разности потенциалов между точками D и C поля системы зарядов, можно воспользоваться правилом суммирования: , где и – разность потенциалов, которые созданы зарядами q₁ и q₃ , соответственно; – разность потенциалов поля плоскости.

Для точечных зарядов: .

Применительно к условию:

 (В),  (В).

Для поля плоскости .

Применительно к условию:

 (В).

В итоге

 (В).

П. 6. Работа электростатического поля по перемещению заряда q между точками D и C . Учитывая то, что разность потенциалов была найдена в предыдущем пункте задания, произведем расчет:

 (Дж).

П. 7. Электростатическое поле консервативное, следовательно, по закону сохранения энергии его работа пойдет на изменение кинетической энергии заряда. С учетом того, что в т. D заряд покоился, имеем , откуда . Однако по расчету в п.6, работа имеет отрицательный знак, а это означает, что под действием только электрического поля отрицательный заряд q из точки D попасть в точку С не может. Для такого перемещения нужны внешние силы.

Расчет можно завершить, но предварительно оговорить, что перемещение под действием поля возможно из т.С в т. D, тогда (м/с).