Лекции

Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

e z2 dz M x, t D

e z2 dz M x, t D

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Лекция № 6.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Задача Коши для уравнения теплопроводности состоит в том, чтобы

найти			функцию	U x,t ,	непрерывную		и	ограниченную	в
		x,t :	x R, 0 t T ,	удовлетворяющую в D x,t :				x R, 0 t T уравнению
	D	x,t :	x R, 0 t T ,	удовлетворяющую в D x,t :				x R, 0 t T уравнению
теплопроводности
				U	a2 2U , x R, 0 t T			(1)
				t		x2
и начальному условию						t 0 x , x R
					U			(2)
								(2)

Чёткого соответствия с физическим объектом, например стержнем, у данной задачи нет.

Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной в R функцииx решение задачи Коши (1), (2) существует и определяется формулой:

					1			x 2
		U x,t			1		e	4a2t d	(3)
					2a
					2a	t

Интеграл (3) называется интегралом Пуассона.
Функция G x, ,t	1		e	x 2
	1			4a2t	называется фундаментальным решением
				4a2t	называется фундаментальным решением
	2a	t

уравнения теплопроводности. Функция G x, ,t удовлетворяет по переменным x,t уравнению (1) на множестве R 0; x R, t 0; .

Докажем, что:

1)Интеграл (3) сходится в D;

2)Функция U x,t удовлетворяет уравнению (1) в D;

3)Функция U x,t удовлетворяет начальному условию (2);

4)Функция U x,t ограничена в D .

Кроме того, заметим (без доказательства), что U x,t C D C2,1 D .

1, 4) Так как функция x ограничена в R, то есть M : x M x R , следовательно

x 2

G x, , t

2a t

4a2t

d M

2a t

Следовательно, G x, ,t d сходится,причём


G x, ,t d	G x, ,t	d M x,t D
	G x, ,t	d M x,t D

Следовательно, U x,t ограничена в D.

Докажем пункт (2) формально:

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

20 | С т р а н и ц а

Обозначим L

(оператор теплопроводности).

x,t

x 2

Lx,tU

4a t

...

G x, ,t

Если интеграл (3) можно продифференцировать 1 раз по t и 2 раза по x под знаком интеграла,то




...		a2		2	G x, ,t	d 0
	t			2
	t		x


				0

Следовательно,интеграл (3) удовлетворяет в D уравнению (1).

Докажем,что функция (3) удовлетворяет начальному условию (2), то есть

lim U x,t x x R

t 0

Фиксируем x R .

x 2

2a t

U x,t

4a2t

x 2a t z dz

2a t

Кроме того,заметим,что x x

e z2 dz ,тогда

U x,t x

x 2a

z x dz

e z2

Фиксируем 0 .

x ограничена в R,то есть M : x M x R ,следовательно

x 2at z x x 2at z x 2M

Интеграл e z2 dz сходится,следовательно

0 N 0 : e z

и e z

U x, t x

e z2 x 2a

x dz

e z2

x 2a

z x dz

e z2 x 2a

z x dz

U x,t x

x 2a

z x

e z2

e z2 dz

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

21 | С т р а н и ц а

Аналогично показывается,что

Оценим

Так

как

непрерывна в точке x, то для числа

0 0 : x :

x x x

Пусть 2a

t N t

t z

t N z N; N .

4a2 N 2

z x

e z dz

e z

x 2a

U x,t x

, 0 t

4a2 N 2

Следовательно,по определению lim U x,t x x R .

t 0

Теорема 1.

Единственность решения задачи Коши (1), (2).

Пусть U1 x,t , U2 x,t непрерывные и ограниченные в D решения задачи Коши

(1), (2), тогда U1 U2 в D .

Рассматриваем x, t U1 x, t U2 x, t .

1)x, t непрерывная в D функция.

2)Функции U1 x,t , U2 x,t ограниченные,то есть M : U1 x,t M , U2 x,t M .

Тогда x, t

U1 x,t U2 x, t

U1 x,t

U2 x,t

2M , то есть ограниченная

функция.

3) Функции U1 x,t ,

U2 x,t удовлетворяют уравнению (1), следовательно,

тоже удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности.

t 0 U1 x,0 U2 x,0 x x 0 z R

Рассмотрим область x, t :

0 t T , где L>0 – произвольное число, и

функцию V x, t

V x, t C . V x,t удовлетворяет однородному

t ,

уравнению теплопроводности в

4M x2

V L, t

a2t

a2t 2M

x, t

x, t D, D

V x, t

x, t

x L, 0 t T

2M 2

x,0

x L; L

t 0

V x, t , x, t ,

V x, t

Тогда

для

функций

выполнены

условия теоремы 4

(следствия из принципа максимума).

V x, t x, t V x, t x, t

x, t

V x, t x, t

x, t

4M x2

(4)

t x, t

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

22 | С т р а н и ц а

Рассмотрим	x, t D . Для этой точки и всех	t
Рассмотрим	x, t D . Для этой точки и всех
достаточно	больших L справедливо, что	T

x L, 0 t T .

Тогда для всех достаточно больших L

справедлива оценка (4).Перейдём к пределу в

неравенстве (4).В результате получаем:

–L

L x

4M x2

x, t

lim

a2t 0

L L

x,t 0 x,t D

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

23 | С т р а н и ц а

Лекция № 7.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.

Пусть струна расположена вдоль оси x и закреплена на концах. Рассматриваем поперечные колебания струны, то есть считаем, что движение струны только в одной плоскости, и любая точка движется вдоль оси Ox .

U x, t – отклонение точки x струны в момент времени t .

Рассмотрим малые колебания струны,

то есть пренебрегаем U 2 , Ux2 , Ut2 и т.

д.

Рассмотрим профиль струны U x, t

M 2

некоторый момент времени t . Рассмотрим

произвольный малый участок струны x1, x2

В момент времени t этот участок принимает

положение дуги M1M2 . Найдём длину дуги

M1M2 (предполагая, что функция U x, t дважды непрерывно

дифференцируема).

dx dx x x

длина x1 , x2

То есть удлинения струны в процессе колебания при изменении

времени не происходит. Следовательно,

натяжение T x,t T x

струны не

зависит от времени. Обозначим через T x

и T U проекции натяжения T x на

оси x и U соответственно.

Обозначим через

угол между касательной к

кривой U x, t и осью x ( зависит от x ).

T x T x cos

T U

T x sin

tg U x cos

1 U

x 2

1 tg 2

sin cos tg U 1 U

T x

T x U

Сумма проекций всех

сил на

участок

по

оси x равна

0. Так как

колебания поперечные: натяжение, инерции, возможно ещё и внешняя сила. Проекции внешней силы и силы инерции равны 0, так как колебания

поперечные. Следовательно, проекция на Ox и сила натяжения,
действующая на участок x1, x2 , тоже равны 0.
T x x2 T x x1 0
T x2 T x1 0 T x2 T x1		то T x const T0 .
Так как x1 и x2 – произвольные точки струны,		то T x const T0 .
Рассмотрим проекцию на ось U .
Проекция натяжения на OU Y1 T u x2 T u x1 T0Ux x2	T0Ux x1	x2
Проекция натяжения на OU Y1 T u x2 T u x1 T0Ux x2	T0Ux x1	T0Uxxdx

		x1

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

24 | С т р а н и ц а

Проекция внешней силы на OU

F x,t dx ,

где F

– плотность внешней

силы, то есть

сила

. Полагаем, что F непрерывна.

ед. длины

Проекция силы инерции на OU

Utt x dx , где

– плотность струны.

Полагаем, что непрерывна.

По закону Ньютона Y1 Y2 Y3 .

x,t dx

F x,t

x,t x dx

T U

T U x,t F x,t U x,t x dx 0

x,t Utt x,t x непрерывна на x1, x2 , то по

Так как функция T0Uxx x,t F

теореме о среднем x

x1, x2 : 0

F x,t Utt x,t x dx

T0U xx x,t

T U x*,t F x*,t U x*,t x*

x x 0 T U x*,t F x*,t U x*,t x* 0

x x

0 xx

Устремим x2 x1

x x1 . В силу непрерывности функций Uxx

, F, Utt , :

T U

x ,t F x ,t U x ,t

x 0

0 xx

tt 1

Так как x1

– произвольная точка струны, а t – произвольный момент

времени, то уравнение поперечных колебаний струны имеет вид:

U x TU

Если x const 0 a2

a2U

Если внешней силы нет, то уравнение принимает вид:

U a2U

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

25 | С т р а н и ц а

ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

Краевая задача для уравнения Utt	a Uxx состоит в том, чтобы найти
	2

решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Начальное условие имеет вид:

t 0

задан начальный

профиль x струны

задана начальная

скорость x струны

Будем рассматривать только два вида граничных условий. Пусть x 0 –

конец струны.

1) Граничное условие I рода (конец движется по закону t ):

x 0 t

Если t 0 , то говорят, что конец жёстко закреплён.

2) Граничное условие II рода (задана сила натяжения):

x 0

Если t 0 , то говорят, что конец свободен.

Таким образом, I краевая задача для струны 0 x l

имеет вид:

a2 U2 , 0 x l, 0 t T

x ,

x , 0 x l

t 0

t , U

t , 0 t T

x 0

x l

0 x l, 0 t T ,

Функция U должна быть непрерывна в

имеет в

непрерывную производную

, имеет в производные

2U ,

2U .

II краевая задача имеет вид:

a2 U

, 0 x l, 0 t T

t 2

x ,

x , 0 x l

t 0

t ,

t , 0 t T

x 0

x l

Требуем, чтобы функции U ,

были непрерывны в

а функции

2U ,

2U непрерывны в .

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

26 | С т р а н и ц а

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. МЕТОД ФУРЬЕ.

Рассмотрим задачу:

	2U			a	2 2U			1
	t		2	a	x	2 , 0 x l, 0 t T
	t				x	U
U				x ,			x , 0 x l	2
U				x ,			x , 0 x l	2
		t 0				t	t 0
		t 0				t	t 0
				0, U		x l 0, 0 t T

U		x 0						3
U		x 0						3

Требуется найти функцию, непрерывную в

, имеющую

непрерывную производную

и непрерывные в производные

2U ,

удовлетворяющую (1) – (3).

0;l , 0 l

0;l ,

Предполагаем,

что

0, 0 l 0, C

0 l 0 .

Решим задачу

методом

Фурье, то есть

решение ищем

виде

U x,t X x T t . Подставляем функцию в уравнение (1):

X x T t a2 X x T t , 0 x l, 0 t T

T t

X x

x l

X x X x , 0

, 0 x l, 0 t T

X x

t T

a T t

T t a2T t , 0

Подставляем функцию U x,t X x T t в граничные условия (3):

X 0 T t 0, 0 t T X 0 0

X l T t 0, 0 t T X l 0

Получаем задачу Штурма-Лиувилля:

X x X x , 0 x lX 0 X l 0

Решения этой задачи:

X	n	x sin n x			,	n 1, 2, 3...
	n
			l
n			n 2	n 1,
n			,	n 1,		2, 3...
			l

	na 2	t ,	n 1, 2, 3... .
Следовательно Tn t	Tn	t ,	n 1, 2, 3... .
	l

	na 2	Tn	0 Tn	na			na
Tn		Tn	0 Tn	t Cn sin	l	t	Dn cos	l	t
	l				l			l

Un X n x Tn t – частные решения уравнения (1), удовлетворяющие нулевым

граничным условиям (3). Составляем формальный ряд:

U x,t

n 1

n			na			Dn	na
sin		x Cn sin			t	Dn	cos
	l			l				l

	(4)
t	(4)

Если он сходится в и его можно почленно дифференцировать в

два раза по x и два раза по t , то U x,t	удовлетворяет уравнению (1) (как

Захаров Антон, А-13-08 \| http://a1308.ru	27 \| С т р а н и ц а

сумма частных решений) и граничным условиям (3). Подставим (4) в начальные условия (2):

				nx
				nx
U	t 0 sin				Dn		5
n 1					l
x
U				na	nx
U				na	nx
t					sin	Cn	6
t		t 0	n 1	l	l		6

x

Коэффициенты рядов Фурье для функций x

вычисляются по формулам:

	2 l			nx
x n			x sin		dx,	n 1, 2, 3...
x n			x sin		dx,	n 1, 2, 3...
		l	0		l
		2 l		na	nx
x n			x		sin	dx,	n 1, 2, 3...
x n			x		sin	dx,	n 1, 2, 3...
		l	0	l	l

и x по		nx
и x по	sin
		l

(7)

Равенства (5) и (6) выполнены, если:

Dn		n
C		na		C		l	(8)
						l
	n		n		n	na	n
	n	l	n		n		n
		l

Таким образом, формальное решение задачи (1) – (3) имеет вид ряда (4), где коэффициенты вычисляются по формулам (7), (8).

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

28 | С т р а н и ц а

Лекция № 8.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.

U x,t

sin

cos

sin

(10)

n 1

Докажем, что:

Ряд (10)

сходится в

;

Сумма ряда (10) непрерывна в

;

Ряд (10)

можно дифференцировать в 2 раза по x и 2 раза по t ;

4. 2U , 2U непрерывны в ;

t2 x2

5. Ut непрерывна в .

Докажем,что ряд (10) сходится равномерно в .


Un	x,t	n		n
		n
		sin	x
		l

		1


	na		n
	na
sin		t
	l

	1

	l	x,t	, n 1, 2, 3, ...
n
	na

Из условий на функцию следует,что

сходится.

n 1

Из условий на функцию следует, что

сходится, следовательно, и ряд

n 1

сходится.

n 1

, n 1,2,3,...

сходится (по признаку сравнения).

n 1

Таким

образом, ряд

тоже сходится. По признаку

n 1

Вейерштрасса ряд (10) сходится равномерно в ,следовательно:

1.Ряд (10) сходится в ;

2.Так как, кроме того, Un x,t непрерывны в , то сумма ряда (10) непрерывна в .

	U			U
	2			2
Докажем,что			,			сходятся равномерно в	.
		n			n
	t	2		x	2
n 1	t		i 1	x
n 1			i 1

2Un

x22Un

t 2

n 2

sin

cos

sin

na 2

sin

cos

sin

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

29 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб263Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб84Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб110Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб77Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб428Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб23Экзаменационная программа.doc