5. Центральная предельная теорема.

5.1. Содержание теоремы.

Закон больших чисел утверждает, что при n   , где а = M_i.

Центральная предельная теорема утверждает нечто большее, а, именно, что при этом стремлении происходит нормализация:

,

где , т. е. среднее арифметическое при больших распределено приближенно по нормальному закону с дисперсией ; этот факт записывают иначе, нормируя сумму:

.

5.2. Одинаково распределённые слагаемые.

Убедимся статистически в том, что сумма нескольких случайных величин распределена приближённо по нормальному закону. Сделаем это на примере суммы шести независимых случайных величин, имеющих beta-распределение с параметрами , плотность которого

где – beta-функция. Плотность при выбранных значениях параметров имеет -образный вид, весьма далёкий от нормального.

Несмотря на то, что плотность самого бета-распределения не схожа с плотностью нормального, уже для четырёх слагаемых распределение становится близким к нормальному.

3. Различно распределённые слагаемые.

Распределение суммы сходится к нормальному и в том случае, когда слагаемые распределены по различным законам. Оценим экспериментально распределение для суммы шести слагаемых, распределённых по различным законам; выберем их из семейства beta-распределений, задав следующие параметры:

	1	2	3	4	5	6
	1	0.5	1	1	2	2
	0.5	1	1	2	1	2

Гистограммы для двух слагаемых показывают, что плотности распределения случайных величин не схожи с плотностью нормального распределения.

Но вот плотность распределения суммы шести таких случайных величин, действительно, весьма похожа на плотность распределения случайной величины по нормальному закону.

Если к случайным величинам добавим ещё одну, дисперсия которой существенно превышает дисперсии остальных случайных величин, то схожесть плотности распределения суммы таких случайных величин с нормальной плотностью исчезнет.