Лабораторные работы / Захаров (10 вариант) / Лабораторная работа 4

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лабораторная работа № 4.

Доверительные границы и интервалы.

Выполнил

студент группы А-13-08

каф. Прикладной Математики

Захаров Антон

Преподаватель

Тигетов Давид Георгиевич

Москва, 2011

Постановка задачи:

Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть – выборка из нормального распределения. Значения среднего и дисперсии неизвестны. Оценки для и :

Как известно, доверительным интервалом для среднего с уровнем доверия при неизвестной дисперсии является интервал

– квантиль порядка распределения Стьюдента с степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения с уровнем доверия является интервал

и – квантили порядков соответственно и распределения хи-квадрат с степенями свободы.

Задание: определить верхние доверительные границы для и с уровнем доверия .

I. Уровень доверия.

1. Генерируем выборок по наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее , дисперсия .

S1.sta

VARi = VNormal(Rnd(1); 10; 2)

2. Оценим средние:

S2.sta

3. Определим квантили порядков (0.95, 0.995, 0.9995) нормального распределения (через функцию Ф^-1(x)):

Analisis | Quick Basic Stats | Probability Calculator | Z

0.95	1.644854
0.995	2.575829
0.9995	3.290527

4. Определим левые и правые концы доверительных интервалов:

S3_1.sta S3_2.sta S3_3.sta

A1 = XS - 1,644854 * 2 / Sqrt(10) A1 = XS - 2,575829 * 2 / Sqrt(10) A1 = XS - 3,290527 * 2 / Sqrt(10)

A2 = XS + 1,644854 * 2 / Sqrt(10) A2 = XS + 2,575829 * 2 / Sqrt(10) A2 = XS + 3,290527 * 2 / Sqrt(10)

5. Строим графики, по которым определяем число экспериментов, для которых интервал не содержит истинного значения параметра.

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G3_1.stg

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G3_2.stg

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G3_3.stg

Задание:

Провести аналогично испытаний доверительного интервала для случая неизвестной дисперсии.

Определим квантили порядков (0.95, 0.995, 0.9995) нормального распределения (через функцию распределения Стьюдента с степенями свободы):

Analisis | Quick Basic Stats | Probability Calculator | t

0.95	1.833113
0.995	3.249836
0.9995	4.780913

Определим левые и правые концы доверительных интервалов:

S4.stb

S4.sta

S4_1.sta S4_2.sta S4_3.sta

S1 = XS - 1,833113 * S / Sqrt(10) S1 = XS - 3,249836 * S / Sqrt(10) S1 = XS - 4,780913 * S / Sqrt(10)

S2 = XS + 1,833113 * S / Sqrt(10) S2 = XS + 3,249836 * S / Sqrt(10) S2 = XS + 4,780913 * S / Sqrt(10)

Строим графики, по которым определяем число экспериментов, для которых интервал не содержит истинного значения параметра.

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G4_1.stg

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G4_2.stg

Graphs | Custom Graphs | 2D Graphs | OK или G4_3.stg

II. Интервалы для среднего нормальной совокупности.

Сгенерируем выборку (столбец) из 20 наблюдений над нормальной случайной величиной со средним и дисперсией и определим доверительные интервалы для с уровнем доверия .

S5.sta

Задача 2.

Изготовлена большая партия из приборов. Известно, что время безотказной работы случайно и распределено по показательному закону с плотностью

С целью определения значения параметра этой партии были поставлены на испытания приборов; времена безотказной работы оказались равными . Методом моментов построить оценку для и доверительный интервал с уровнем доверия . Кроме того, построить доверительный интервал для числа приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.

Измерения получить моделированием с заданным параметром .

Оценка:

Построим доверительный интервал параметра распределения.

Введем новую случайную величину , таким образом, что . Таким образом,