МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лабораторная работа № 1.
Предельные теоремы.
Выполнил
студент группы А-13-08
каф. Прикладной Математики
Захаров Антон
Преподаватель
Тигетов Давид Георгиевич
Москва, 2011
Цель работы:
Статистически пронаблюдать существо основных предельных теорем.
Содержание работы:
-
Теорема Бернулли.
-
Закон больших чисел в форме Чебышёва.
-
Основное утверждение.
-
Испытание практически достоверного события.
-
Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.
-
Усиленный закон больших чисел.
-
Теорема Гливенко основная теорема статистики.
-
Центральная предельная теорема.
-
Содержание теоремы.
-
Одинаково распределённые слагаемые.
-
Различно распределённые слагаемые.
-
-
Теорема Бернулли.
Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, а число появлений события А, то при .
Проверим выполнение теоремы Бернулли в эксперименте «Бросание симметричной монеты» (вероятность появления герба ). Именно проверим два факта:
-
Примем , тогда с вероятностью при .
-
Примем , тогда с вероятностью при .
Проведём генерацию случайной величины , принимающей значения «1» (выпал герб) или «0» (выпала цифра). Тогда .
Результаты показывают, что теорема Бернулли выполняется в обоих случаях:
-
Закон больших чисел в форме Чебышёва.
-
Основное утверждение.
Теорема Чебышёва. Если – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной , то для любого
при .
-
Испытание практически достоверного события.
Проверим выполнение теоремы Чебышёва:
-
На выборке, распределённой по равномерному закону на отрезке [0, 1]
VAR2
VAR3
-
На выборке, распределённой по показательному закону с параметром 1.
VAR4
VAR5
Проведённые опыты подтвердили справедливость теоремы Чебышёва.
Невыполнение закона больших чисел.
На этот раз проверим невыполнение вышеизложенной теоремы на примере распределения Коши. Известно, что у этого распределения нет математического ожидания и дисперсии. Следовательно, условие теоремы Чебышёва не выполнено. Составим семь выборок случайных величин с распределением Коши:
Строим график одной из выборок (VAR1):
Как можем видеть, на графике наблюдаются отдельные случайные величины, значения которых значительно удалены от среднего (для исследуемого распределения – от нуля). Эксперимент подтверждает, что условие конечности дисперсий случайных величин в теореме Чебышёва существенно.
-
Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.
Закон больших чисел в форме Чебышёва означает, что распределение случайной величины сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы , то сжатие происходит в окрестности точки .
-
Аналитически:
Построим графики нормального распределения для , т.е. для .
-
Статически:
Проведём эксперимент и убедимся, что эффект сжатия распределения имеет место. Составим 20 выборок в которых случайные величины распределены равномерно на отрезке [0, 1].
Число случайных величин в каждой выборке |
Минимальная средняя величина по всем выборкам |
Максимальная средняя величина по всем выборкам |
Стандартное отклонение |
10 |
0,312 |
0,761 |
0,117 |
40 |
0,411 |
0,584 |
0,049 |
160 |
0,450 |
0,529 |
0,019 |
640 |
0,484 |
0,523 |
0,010 |
Графически результат эксперимента представлен на следующем графике:
Видно, что с ростом испытаний средние арифметические значения становятся ближе друг к другу, причём уплотнение движется в сторону 0.5 – среднего значения одного испытания.