Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лабораторные работы / Захаров (10 вариант) / Лабораторная работа 1.docx
Скачиваний:
22
Добавлен:
28.06.2014
Размер:
4.26 Mб
Скачать

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лабораторная работа № 1.

Предельные теоремы.

Выполнил

студент группы А-13-08

каф. Прикладной Математики

Захаров Антон

Преподаватель

Тигетов Давид Георгиевич

Москва, 2011

Цель работы:

Статистически пронаблюдать существо основных предельных теорем.

Содержание работы:

  1. Теорема Бернулли.

  2. Закон больших чисел в форме Чебышёва.

    1. Основное утверждение.

    2. Испытание практически достоверного события.

    3. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.

  1. Усиленный закон больших чисел.

  2. Теорема Гливенко  основная теорема статистики.

  3. Центральная предельная теорема.

    1. Содержание теоремы.

    2. Одинаково распределённые слагаемые.

    3. Различно распределённые слагаемые.

  1. Теорема Бернулли.

Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, а число появлений события А, то при .

Проверим выполнение теоремы Бернулли в эксперименте «Бросание симметричной монеты» (вероятность появления герба ). Именно проверим два факта:

  1. Примем , тогда с вероятностью при .

  2. Примем , тогда с вероятностью при .

Проведём генерацию случайной величины , принимающей значения «1» (выпал герб) или «0» (выпала цифра). Тогда .

Результаты показывают, что теорема Бернулли выполняется в обоих случаях:

  1. Закон больших чисел в форме Чебышёва.

    1. Основное утверждение.

Теорема Чебышёва. Если – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной , то для любого

при .

    1. Испытание практически достоверного события.

Проверим выполнение теоремы Чебышёва:

  1. На выборке, распределённой по равномерному закону на отрезке [0, 1]

VAR2

VAR3

  1. На выборке, распределённой по показательному закону с параметром 1.

VAR4

VAR5

Проведённые опыты подтвердили справедливость теоремы Чебышёва.

Невыполнение закона больших чисел.

На этот раз проверим невыполнение вышеизложенной теоремы на примере распределения Коши. Известно, что у этого распределения нет математического ожидания и дисперсии. Следовательно, условие теоремы Чебышёва не выполнено. Составим семь выборок случайных величин с распределением Коши:

Строим график одной из выборок (VAR1):

Как можем видеть, на графике наблюдаются отдельные случайные величины, значения которых значительно удалены от среднего (для исследуемого распределения – от нуля). Эксперимент подтверждает, что условие конечности дисперсий случайных величин в теореме Чебышёва существенно.

    1. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.

Закон больших чисел в форме Чебышёва означает, что распределение случайной величины сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы , то сжатие происходит в окрестности точки .

  1. Аналитически:

Построим графики нормального распределения для , т.е. для .

  1. Статически:

Проведём эксперимент и убедимся, что эффект сжатия распределения имеет место. Составим 20 выборок в которых случайные величины распределены равномерно на отрезке [0, 1].

Число случайных величин в каждой выборке

Минимальная средняя величина по всем выборкам

Максимальная средняя величина по всем выборкам

Стандартное отклонение

10

0,312

0,761

0,117

40

0,411

0,584

0,049

160

0,450

0,529

0,019

640

0,484

0,523

0,010

Графически результат эксперимента представлен на следующем графике:

Видно, что с ростом испытаний средние арифметические значения становятся ближе друг к другу, причём уплотнение движется в сторону 0.5 – среднего значения одного испытания.