Лабораторные работы / Захаров (10 вариант) / Лабораторная работа 3
.docxМОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лабораторная работа № 3.
Оценки.
Выполнил
студент группы А-13-08
каф. Прикладной Математики
Захаров Антон
Преподаватель
Тигетов Давид Георгиевич
Москва, 2011
Постановка задачи:
Пусть
на заводе имеется большая партия из
(тысячи) транзисторов, используемых для
сборки некоторого прибора. Выходные
параметры прибора (например, надежность,
уровень шума, вероятность выхода из
режима и т.д.) зависят от обратных токов
транзисторов; обратный ток у разных
экземпляров различен, и потому можно
считать его случайной величиной, причем,
как известно технологам, распределённой
равномерно в диапазоне от 0 до 
,
где 
–
порог отбраковки, установленный на
заводе-изготовителе транзисторов.
Следовательно, выходные параметры
прибора определяются величиной 
.
Предположим,
что по каким-либо причинам значение
производителю
приборов неизвестно. Ясно, что в этом
случае из партии нужно случайным выбором
извлечь 
(сравнительно
немного: десятки) транзисторов, измерить
их ток, и по измерениям оценить Imax (неизвестный
параметр 
).
Статистическая
задача: по
наблюдениям 
над
случайной величиной C,
распределённой равномерно на отрезке
,
оценить неизвестный параметр 
.
Сравним три способа оценивания (три оценки):
-
Оценку, полученную методом моментов,
-
Оценку, полученную методом максимального правдоподобия (после исправления смещённости),
-
Оценку, полученную методом порядковых статистик,
где
– выборочная медиана,
– член
вариационного ряда с номером 
;
здесь полагаем 
.
Точность этих оценок можно сравнить теоретически и экспериментально (статистически).
Теоретическое сравнение оценок.
Все три оценки являются несмещенными.
Определим дисперсии оценок:
Отсюда
ясно, что
наиболее точная оценка, а
–
наименее.
Поясним приведенные формулы для дисперсий последних двух оценок:
Определим
функцию распределения статистики
:
Плотность распределения:
Используем
теорему Крамера, согласно которой
выборочная -квантиль
имеет дисперсию, равную приближенно
,
где 
–
истинная 
-квантиль, 
–
плотность распределения наблюдений
выборки. В нашем случае (при n
= 2k)
статистика является выборочной медианой
,
и потому
Содержание работы:
-
Сформируем
выборок из равномерного на
распределения объёма
.
Файл: st1.sta
-
Для полученных выборок вычислим три оценки:
где
– выборочная медиана.
Файл: st2.sta
-
Вычислим и сравним характеристики полученных оценок:
Характеристиками
разброса значений оценки
будем считать размах и среднеквадратичное
отклонение (СКО):
Файл: st3.sta
Сравнение
размахов
и стандартных отклонений
для
3 оценок показывает, что оценка
наиболее точна, а оценка
– наименее.
Построим график
этих двух оценок: на нём хорошо видно,
что обе оценки находятся в окрестности
10, и что оценка
имеет разброс меньше, чем
.
Файл: graph1.stg
-
Найдём аналогичные характеристики оценок для выборок объёмов
и
.
Файлы: st4.sta, st5.sta
|
Объём выборки |
Характеристика |
|
|
|
|
|
|
6.245 |
8.866 |
4.334 |
|
|
12.660 |
10.972 |
16.376 |
|
|
|
6.415 |
2.106 |
12.042 |
|
|
|
1.668 |
0.664 |
3.137 |
|
|
|
|
8.489 |
9.302 |
7.249 |
|
|
11.479 |
10.238 |
12.953 |
|
|
|
2.990 |
0.936 |
5.704 |
|
|
|
0.730 |
0.243 |
1.403 |
|
|
|
|
9.156 |
9.900 |
8.672 |
|
|
10.466 |
10.055 |
11.313 |
|
|
|
1.310 |
0.155 |
2.641 |
|
|
|
0.337 |
0.042 |
0.709 |
Графически покажем уменьшение СКО для всех трёх оценок с увеличением объёма выборки.
Файлы: st6.sta, graph2.stg
Приведенные результаты экспериментального сравнения 3 способов обработки наблюдений показывают следующее:
-
Значения оценок концентрируются в окрестности оцениваемого параметра (проявление свойства несмещённости оценок).
-
С ростом числа наблюдений точность (величина разброса) оценок улучшается (проявление свойства состоятельности).
-
Различные оценки различаются по величине средней ошибки, откуда ясно, что различные способы обработки наблюдений нужно сравнивать по величине среднего значения некоторого критерия качества, например, среднего значения квадрата ошибки.
Задание на самостоятельную работу.
Сравним
статистически на выборках объема 
две оценки: оценку максимального
правдоподобия и медианную оценку
1) среднего нормального распределения;
2) параметра показательного распределения;
Оценка
среднего нормального распределения с
параметрами
.
Файлы: st7.sta, st8.sta
|
Объём выборки |
Характеристика |
(МП-оценка) |
(медианная оценка) |
|
|
|
9.3532 |
8.9110 |
|
|
11.04093 |
10.6640 |
|
|
|
1.6876 |
1.7533 |
|
|
|
0.5539 |
0.6679 |
|
|
|
|
9.6418 |
9.1878 |
|
|
10.4797 |
10.4774 |
|
|
|
0.8315 |
1.2895 |
|
|
|
0.2817 |
0.3568 |
|
|
|
|
9.6164 |
9.5335 |
|
|
10.1289 |
10.1429 |
|
|
|
0.1249 |
0.6093 |
|
|
|
0.9548 |
0.2036 |
Оценка
параметра показательного распределения
с параметром
.
Файлы: st9.sta, st10.sta
|
Объём выборки |
Характеристика |
(МП-оценка) |
(медианная оценка) |
|
|
|
1.7082 |
1.0817 |
|
|
5.6291 |
4.6934 |
|
|
|
3.9209 |
3.6117 |
|
|
|
1.1455 |
1.1339 |
|
|
|
|
2.4427 |
2.1865 |
|
|
3.3654 |
4.3276 |
|
|
|
0.9227 |
2.1410 |
|
|
|
0.3206 |
0.6453 |
|
|
|
|
2.4570 |
2.4440 |
|
|
3.3370 |
3.6440 |
|
|
|
0.8800 |
1.2000 |
|
|
|
0.2590 |
0.3580 |
Сравнение
значений размахов 
и
для
2 оценок показывает, что оценка 
более
точна, чем оценка
.
Приведенные результаты экспериментального сравнения 3 способов обработки наблюдений показывают следующее:
-
Значения оценок концентрируются в окрестности оцениваемого параметра (проявление свойства несмещенности оценок).
-
С ростом числа наблюдений точность (величина разброса) оценок улучшается (проявление свойства состоятельности).
Задача 1 (вариант 10).
Завод
выпустил партию из
приборов,
предназначенных для непрерывной работы
под водой в течение
часов.
На испытания поставлены
приборов.
Результаты испытаний на продолжительность
оказались
.
Оценить количество неработоспособных
приборов и их стоимость. Считать:
1)
продолжительность
непрерывной работы случайной величиной,
имеющей показательное распределение;
2)
руб.
– стоимость
одного прибора;
3)
Среднее значение принять
часов.
Решение.
Количество неработоспособных приборов:
Стоимость:
