7. Построение доверительных интервалов на основе асимптотической нормальности. Доверительный интервал для вероятности события.
Пусть
– наблюдение и случайная величина
имеет асимптотически (при
)
нормальное распределение
:
,
при
;
В силу асимптотической нормальности:
,
при
,
тогда при больших справедливо приближенное равенство для вероятностей:
.
Пусть
является квантилью распределения
уровня
,
где
– уровень доверия:
,
тогда,
.
Разрешая неравенство относительно , получим «приближенный» доверительный интервал:
.
Воспользуемся вышеизложенным методом
для построения «приближенного»
доверительного интервала неизвестной
вероятности события в схеме
независимых испытаний. Пусть
– выборка, в которой каждая случайная
величина
является бинарной и принимает значение
1 с некоторой неизвестной вероятностью
и значение 0 с вероятностью
:
.
Требуется построить приближенный
доверительный интервал для вероятности
.
Рассмотрим случайную величину
:
.
К случайным величинам
применима центральная предельная
теорема, в соответствии с которой сумма
имеет асимптотически (при
)
нормальное распределение с параметрами
,
где:
,
,
тогда случайная величина:
имеет асимптотически (при ) нормальное распределение :
,
при
.
Пусть – квантиль распределения уровня , тогда при больших :
,
,
,
,
,
где . Разрешая неравенство относительно неизвестной вероятности , получим:
Пренебрегая слагаемыми с множителем
и с множителем
под корнем, получим приближенное
неравенство:
,
,
.
Таким образом,
,
и «приближенный» доверительный интервал для вероятности имеет вид:
,
где и – квантиль распределения уровня .
8. Доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и дисперсиями.
Пусть
выборка из двумерного нормального
распределения
с неизвестными математическими ожиданиями
и
,
и неизвестными дисперсиями
и
.
Требуется построить доверительный
интервал для коэффициента корреляции
с уровнем доверия
.
Если случайная величина
имеет распределение
,
то коэффициент корреляции
:
.
Моментная оценка коэффициента корреляции
имеет вид:
,
,
.
Можно показать, что статистика
имеет асимптотически нормальное
распределение
,
однако, использовать непосредственно
статистику
для построения доверительного интервала
весьма затруднительно, поскольку
зависимость дисперсии от
в конечном счете приводит к необходимости
решать громоздкое квадратное уравнение.
Во избежание указанной проблемы прибегают
к преобразованию Фишера:
.
Можно показать, что статистика
имеет асимптотически нормальное
распределение
,
где
и
не зависит от
.
Легко видеть, что случайная величина
:
будет иметь асимптотически нормальное распределение и поэтому может быть использована для построения «приближенного» доверительного интервала. Для этого достаточно вычислить – квантиль распределения с уровнем доверия , тогда:
.
Разрешая неравенства относительно
,
получим статистики
и
(значения статистик вычисляют численными
методами):
,
откуда непосредственно будет получен
доверительный интервал
.
Рисунок 5.2. Номограмма.
|
|