3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с известным математическим ожиданием.

Пусть – выборка из нормального распределения с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , построим доверительный интервал для дисперсии с уровнем доверия .

Рассмотрим статистику :

.

Поскольку случайные величины имеют нормальное распределение и независимы, то статистика имеет распределение («хи-квадрат с степенями свободы») и кроме того одновременно при всех реализациях выборки функция как функция параметра :

является непрерывной и убывающей. Таким образом, статистика является центральной статистикой для .

Для построения доверительного интервала выберем числа и так, чтобы выполнялось равенство:

.

Для выполнения равенства достаточно, например, в качестве взять квантиль уровня распределения , а качестве – квантиль уровня распределения , действительно:

,

где – случайная величина, имеющая распределение , и – функция распределения .

При таких значениях и получается так называемый «центральный интервал» (название обусловлено тем, что слева от «сосредоточена» вероятность и справа от «сосредоточена» вероятность ). Построение «наикратчайшего» доверительного интервала, то есть нахождение чисел и с наименьшей разностью среди всех чисел удовлетворяющих , в данном случае является технически сложным ([1] стр. 86), поэтому на практике ограничиваются более простым «центральным интервалом».

Преобразование неравенств приводит к следующему доверительному интевалу:

,

,

.

Поскольку последнее равенство справедливо при всяком значении , то интервал:

,

где и – квантили уровней и распределения соответственно, является доверительным интервалом для с уровнем доверия .

Нетрудно также получить и доверительный интервал для с.к.о. , действительно, поскольку:

,

то

,

тогда при тех же значениях и интервал:

является доверительным интервалом для с уровнем доверия .

4. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием.

Теорема 5.5. (Фишер)

Пусть – выборка из нормального распределения , статистики и , тогда:

1) Статистика имеет распределение ;

2) Статистики и – независимые случайные величины.

Доказательство:

1) Преобразуем статистику следующим образом:

.

Определим вектор-столбец случайных величин :

,

тогда,

.

Поскольку случайные величины имеют нормальное распределение, то случайные величины также имеют нормальное распределение (как линейное преобразование нормальной случайной величины). Легко видеть, что математическое ожидание есть нулевой вектор:

,

и дисперсионная матрица является единичной матрицей , поскольку:

,

где при поскольку и независимы ( - выборка по условию теоремы).

Пусть – ортогональная матрица (т.е. , где – транспонированная матрица ), в которой все элементы первой строки равны :

(5.1)

Определим вектор-столбец случайных величин :

,

.

Каждая случайная величина имеет нормальное распределение, поскольку все имеют нормальное распределение. Математическое ожидание есть нулевой вектор:

,

и дисперсионная матрица есть единичная матрица , поскольку:

,

поскольку – ортогональная матрица ( ). Таким образом, случайные величины некоррелированные и поскольку все имеют нормальное распределение, то следовательно случайные величины независимы.

Покажем, что , действительно:

.

Из определения матрицы (5.1):

(5.2)

Таким образом,

(5.3)

где все величины имеют нормальное распределение и независимы, поэтому статистика имеет распределение .

2) Из (5.2) следует:

Из (5.3) следует:

.

Поскольку случайные величины независимы, то следовательно независимы и .

Теорема доказана.

Теорема 5.5 позволяет построить доверительный интервал для дисперсии нормального распределение в случае, когда математическое ожидание неизвестно. Пусть – выборка из нормального распределения , из теоремы 5.5 следует, что статистика :

имеет распределение , не зависящее от неизвестных параметров и , и одновременно при всех реализациях выборки функция как функция является непрерывной и убывающей. Следовательно, статистика является центральной статистикой для . Пусть и – квантили уровней и распределения , тогда:

,

,

.

Таким образом, интервал

,

где и являются квантилями уровней и распределения , является доверительным интервалом для дисперсии с уровнем доверия . Заметим, что при тех же значениях и интервал

является доверительным интервалом для с.к.о. с уровнем доверия .