Тема 8. Критерии проверки параметрических гипотез. Различение двух простых гипотез.

1. Критерии проверки параметрических гипотез.

Пусть наблюдение имеет неизвестную функцию распределения , зависящую от параметра , где – множество допустимых значений параметра .

Пусть – множество функций распределения , получаемых при всевозможных допустимых значениях параметра :

.

Основная гипотеза заключается в том, что неизвестная функция распределения принадлежит некоторому заданному, фиксированному подмножеству :

: .

Поскольку каждой функции из множества соответствуют определенное значение параметра , то множеству функций соответствует подмножество параметров такое, что:

.

Отсюда следует, что гипотеза может быть переформулирована в терминах параметра : гипотеза заключается в том, что значение параметра :

: .

Именно поэтому гипотезу принято называть параметрической.

Альтернативная гипотеза в данном случае образована множеством всех функций , которые не попали в множество :

: ,

.

В терминах параметра альтернативная гипотеза заключается в том, что:

: ,

.

Предположим, что имеется статистический критерий проверки гипотезы , тогда для каждой реализации наблюдения критерий либо принимает гипотезу , либо отклоняет гипотезу (принимает гипотезу ). Пусть – выборочное пространство (множество всех возможных реализаций наблюдения):

,

тогда в множестве можно выделить подмножество реализаций , для которых критерий принимает гипотезу , и подмножество реализаций , для которых критерий принимает гипотезу . Фактически задание любого критерия сводится к заданию разбиения множества на множества и :

,

,

поэтому для обозначения критерия далее будем использовать обозначение .

С каждым критерием связаны две ошибки: ошибка первого рода – критерий отклоняет гипотезу в том случае, когда она верна, ошибка второго рода – критерий принимает гипотезу в том случае, когда она не верна (верна альтернативная гипотеза ).

Определение 8.1.

Для критерия вероятностью ошибки первого рода называется вероятность:

,

.

где вероятность вычисляется при условии, что функция распределения наблюдения есть функция .

Действительно, если гипотеза верна, то истинное значение параметра , и критерий отклоняет гипотезу , если наблюдение попадает в множество , поэтому вероятность ошибки первого рода есть вероятность того, что наблюдение окажется в множестве , которая вычисляется с функцией распределения при значении параметра . Заметим, что вероятность ошибки первого рода , вообще говоря, зависит от значения параметра , и поэтому может оказаться различной при различных значениях параметра.

Определение 8.2.

Для критерия вероятностью ошибки второго рода называется вероятность:

,

,

где вероятность вычисляется при условии, что функция распределения наблюдения есть функция .

Действительно, если гипотеза не верна, тогда истинное значение параметра , и критерий принимает гипотезу , если наблюдение попадает в множество , поэтому вероятность ошибки второго рода есть вероятность того, что наблюдение окажется в множестве , которая вычисляется с функцией распределения при значении параметра . Заметим, что опять же вероятность ошибки второго рода зависит от значения параметра и поэтому может оказаться различной при различных значениях параметра.

Поскольку каждый критерий однозначно определяет разбиение выборочного пространства на подмножества и , то с каждым критерием однозначно связаны функции ошибок первого и второго родов. Крайне желательно, чтобы вероятности ошибок были как можно меньше, поэтому следует стремиться построить такой критерий, для которого вероятности принимают наименьшее значение.

В общем случае функции вероятностей ошибок первого и второго родов не связаны каким-либо строгим соотношением, поскольку вычисляются при различных функциях распределения и , которые могут быть никак не связаны между собой. Тем не менее, как правило, попытки уменьшения значений вероятностей одной ошибки приводят к увеличению значений вероятностей другой ошибки. Этот эффект возникает из-за того, что функции вероятности ошибок связаны через множества и . Уменьшение вероятностей ошибок первого рода в большинстве случаев возможно только за счет «сужения» множества , которое приводит к «расширению» множества , и как следствие, совершенно точно не приводит к уменьшению вероятностей ошибок второго рода , а в большинстве случаев приводит к увеличению.

В силу невозможности одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода иногда поступают следующим образом: изначально задаются некоторым уровнем значимости и рассматривают множество критериев , для которых функция вероятности ошибки первого рода не превосходит значения :

.

Далее сравнивают функции вероятностей ошибок второго рода всех критериев из множества . В общем случае критерии и из множества могут оказаться несравнимыми, поскольку вполне возможно при одних значениях параметра имеет место неравенство , а при других значениях параметра наоборот , тем не менее некоторые критерии все же оказываются сравнимыми.

Определение 8.3.

Критерий равномерно мощнее критерия , если:

1) : ,

2) : .

Определение 8.4.

Критерий называется равномерно наиболее мощным критерием, если критерий равномерно мощнее любого другого критерия в классе .

В случае если множество состоит из одной точки , то равномерно наиболее мощный критерий иногда называют наиболее мощным критерием (опуская слово равномерно).

В некоторых случаях равномерно наиболее мощного критерия может не существовать.