- •Тема 5. Доверительные интервалы и границы.
- •1. Доверительный интервал, нижняя и верхняя доверительные границы.
- •2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.
- •3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с известным математическим ожиданием.
- •4. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием.
- •5. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.
- •6. Метод построения центральной статистики.
- •7. Построение доверительных интервалов на основе асимптотической нормальности. Доверительный интервал для вероятности события.
- •8. Доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и дисперсиями.
Тема 5. Доверительные интервалы и границы.
1. Доверительный интервал, нижняя и верхняя доверительные границы.
Всякая точечная оценка сообщает лишь одно значение, которое принимается за приближенное значение оцениваемой величины, при этом полученное значение в большинстве случаев, конечно, не совпадает с истинным значением оцениваемой величины, поэтому в ряде случаев требуется указать интервал, в котором с большой вероятностью находится оцениваемая величина.
Пусть – наблюдение,– неизвестный скалярный параметр и– множество допустимых значений параметра.
Определение 5.1.
Пусть и– статистики. Интервал
называется доверительным интервалом для величины с уровнем доверия (доверительной вероятностью)(), если:
1) ,
2) .
Из условия 2) определения 5.1 следует, что статистики иустроены таким образом, что каким бы ни оказалось значение параметравеличина«накрывается» интерваломс вероятностью не меньше чем.
Определение 5.2.
Статистика называетсяверхней доверительной границей с уровнем доверия (доверительной вероятностью) (), если:
.
Определение 5.3.
Статистика называетсянижней доверительной границей с уровнем доверия (доверительной вероятностью) (), если:
.
Общий метод построения доверительных интервалов основывается на понятии центральной статистики.
Определение 5.4.
Пусть – наблюдение и случайная величиназависит как от наблюдениятак и от неизвестной величины. Случайная величинаназываетсяцентральной статистикой для величины , если:
1) функция распределения известна (то есть никаким образом не зависит от неизвестного параметра),
2) при всех реализациях наблюдения одновременно функциянепрерывна и строго монотонна по(например, при всехфункциянепрерывна и возрастает по).
Предположим, что некоторым образом построена центральная статистика для –, поскольку функция распределенияизвестна (условие 1), то всегда можно найти числаитакие, что:
.
Поскольку функция непрерывна попри всех реализациях наблюдения, то при каждомсуществуют решенияисистемы уравнений (рисунок 5.1):
Рисунок 5.1.
Если функция возрастает попри всех реализациях наблюдения, тогда событияиэквивалентны и вероятности событий равны, то есть:
.
Пусть статистики и, тогда интервалявляется доверительным интервалом дляс уровнем доверия, поскольку для всех допустимых значений параметра:
,
следовательно,
.
Если функция убывает попри всех реализациях наблюдения, тогда эквивалентны событияии равны вероятности:
.
Пусть статистики и, тогда интервалявляется доверительным интервалом дляс уровнем доверия, поскольку для всех допустимых значений параметра:
,
тогда,
Аналогичным образом, с помощью центральной статистики могут быть построены доверительные границы.
2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.
Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданиеми известной дисперсией, построим доверительный интервал для математического ожиданияс уровнем доверия.
Поскольку все величины выборки имеют нормальное распределение, то статистикатакже имеет нормальное распределение с параметрами:
,
.
Тогда статистика :
,
имеет нормальное распределение не зависящее от неизвестного параметраи одновременно при всех реализацияхфункциякак функцияявляется непрерывной и убывающей. Согласно определению– центральная статистика для. Выберем числаитак, чтобы выполнялись равенства:
или
,
где - функция распределения нормальной случайной величины. Для нахождения минимума функциипри условиивоспользуемся методом Лагранжа, с функцией Лагранжа:
,
которая приводит к системе:
.
У второго уравнения системы или, очевидно, имеется только два решенияи, первое решение не удовлетворяет третьему уравнению системы, тогда:
Используя свойство функции нормального распределения получим:
.
Таким образом, есть квантиль уровняраспределенияи. Значениюможно придать иную интерпретацию:
,
то есть является квантилью уровняраспределения. Таким образом, получим равенство для вероятностей:
.
Преобразовывая неравенства, получим:
,
.
Преобразование неравенств фактически является нахождением решения системы:
.
Таким образом, при всяком значении параметра :
,
тогда интервал ():
,
где – является квантилью уровняраспределения, является доверительным интервалом дляс уровнем доверия.