8. Доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и дисперсиями.

Пусть выборка из двумерного нормального распределенияс неизвестными математическими ожиданиямии, и неизвестными дисперсиямии. Требуется построить доверительный интервал для коэффициента корреляциис уровнем доверия.

Если случайная величина имеет распределение, то коэффициент корреляции:

.

Моментная оценка коэффициента корреляции имеет вид:

,

,.

Можно показать, что статистика имеет асимптотически нормальное распределение, однако, использовать непосредственно статистикудля построения доверительного интервала весьма затруднительно, поскольку зависимость дисперсии отв конечном счете приводит к необходимости решать громоздкое квадратное уравнение. Во избежание указанной проблемы прибегают к преобразованию Фишера:

.

Можно показать, что статистика имеет асимптотически нормальное распределение, гдеине зависит от. Легко видеть, что случайная величина:

будет иметь асимптотически нормальное распределение и поэтому может быть использована для построения «приближенного» доверительного интервала. Для этого достаточно вычислить– квантиль распределенияс уровнем доверия, тогда:

.

Разрешая неравенства относительно , получим статистикии(значения статистик вычисляют численными методами):

,

откуда непосредственно будет получен доверительный интервал .

Рисунок 5.2. Номограмма.

72