5. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.

Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданиеми неизвестной дисперсией, построим доверительный интервал дляс уровнем доверия.

Рассмотрим статистику :

,

(5.4)

,.

Заметим, что:

1) , поскольку все величиныимеют нормальное распределение;

2) инезависимы, поскольку в силу теоремы 5.5 статистикиинезависимы;

3) имеет распределениев силу теоремы 5.5.

Из 1)-3) следует, что статистика имеет распределение Стьюдента сстепенью свободы. Кроме того, при всех реализациях выборкифункциякак функцияявляется непрерывной и убывающей, следовательно, случайная величинаявляется центральной статистикой для.

Пусть и– квантили уровнейираспределения, тогда:

,

,

.

Поскольку распределение Стьюдента является симметричным относительно нуля, то для функции распределениясправедливо равенство:

.

Отсюда следует, что , действительно:

.

Таким образом,

и следовательно интервал,

,

в котором ,и– квантиль уровняраспределения Стьюдента сстепенью свободы, является доверительным интервалом дляс уровнем доверия.

6. Метод построения центральной статистики.

Пусть – случайная величина с непрерывной и возрастающей пофункцией распределения, возможно зависящей от параметра. Рассмотрим случайную величину, легко видеть, что функция распределенияслучайной величины:

,

где обратная функция существует, поскольку функция распределениянепрерывна и возрастает. Заметим, что если, то:

,

таким образом,

,

и следовательно случайная величина имеет равномерное распределение, не зависящее от параметра.

Пусть – наблюдение и– статистика (например, оценка или достаточная статистика), функция распределения которойнепрерывна и возрастает пои кроме того известна полностью либо известна с точностью до значения параметра. Рассмотрим случайную величину, согласно рассмотренному выше свойству функции распределения, случайная величинаимеет равномерное распределение, не зависящее от параметра. Если при фиксированных,…,функциякак функция параметраявляется непрерывной и монотонной, тогдапо определению является центральной статистикой.

Для построения доверительного интервала достаточно вычислить число , где– уровень доверия,, тогда:

,

где – функция распределения. Посколькуимеет равномерное распределение, тои, тогда:

,

.

Разрешая неравенства относительно, получим доверительный интервал. Если функциявозрастает по, тогда:

.

Если функция убывает по, тогда:

.

Если функция возрастает по, то для построения нижней доверительной границы достаточно взятьи рассмотреть вероятность:

,

,

.

Для построения верхней доверительной границы достаточно взять и рассмотреть вероятность:

,

,

.

Если функция убывает по, то для построения нижней доверительной границы следует взятьи рассмотреть вероятность:

,

,

.

Для построения верхней доверительной границы следует взять и рассмотреть вероятность:

,

,

.

7. Построение доверительных интервалов на основе асимптотической нормальности. Доверительный интервал для вероятности события.

Пусть – наблюдение и случайная величинаимеет асимптотически (при) нормальное распределение:

, при;

В силу асимптотической нормальности:

, при,

тогда при больших справедливо приближенное равенство для вероятностей:

.

Пусть является квантилью распределенияуровня, где– уровень доверия:

,

тогда,

.

Разрешая неравенство относительно , получим «приближенный» доверительный интервал:

.

Воспользуемся вышеизложенным методом для построения «приближенного» доверительного интервала неизвестной вероятности события в схеме независимых испытаний. Пусть– выборка, в которой каждая случайная величинаявляется бинарной и принимает значение 1 с некоторой неизвестной вероятностьюи значение 0 с вероятностью:

.

Требуется построить приближенный доверительный интервал для вероятности . Рассмотрим случайную величину:

.

К случайным величинам применима центральная предельная теорема, в соответствии с которой суммаимеет асимптотически (при) нормальное распределение с параметрами, где:

,

,

тогда случайная величина:

имеет асимптотически (при ) нормальное распределение:

, при.

Пусть – квантиль распределенияуровня, тогда при больших:

,

,

,

,

,

где . Разрешая неравенство относительно неизвестной вероятности, получим:

Пренебрегая слагаемыми с множителем и с множителемпод корнем, получим приближенное неравенство:

,

,

.

Таким образом,

,

и «приближенный» доверительный интервал для вероятности имеет вид:

,

где и– квантиль распределенияуровня.