Тема 5. Доверительные интервалы и границы.

1. Доверительный интервал, нижняя и верхняя доверительные границы.

Всякая точечная оценка сообщает лишь одно значение, которое принимается за приближенное значение оцениваемой величины, при этом полученное значение в большинстве случаев, конечно, не совпадает с истинным значением оцениваемой величины, поэтому в ряде случаев требуется указать интервал, в котором с большой вероятностью находится оцениваемая величина.

Пусть – наблюдение,– неизвестный скалярный параметр и– множество допустимых значений параметра.

Определение 5.1.

Пусть и– статистики. Интервал

называется доверительным интервалом для величины с уровнем доверия (доверительной вероятностью)(), если:

1) ,

2) .

Из условия 2) определения 5.1 следует, что статистики иустроены таким образом, что каким бы ни оказалось значение параметравеличина«накрывается» интерваломс вероятностью не меньше чем.

Определение 5.2.

Статистика называетсяверхней доверительной границей с уровнем доверия (доверительной вероятностью) (), если:

.

Определение 5.3.

Статистика называетсянижней доверительной границей с уровнем доверия (доверительной вероятностью) (), если:

.

Общий метод построения доверительных интервалов основывается на понятии центральной статистики.

Определение 5.4.

Пусть – наблюдение и случайная величиназависит как от наблюдениятак и от неизвестной величины. Случайная величинаназываетсяцентральной статистикой для величины , если:

1) функция распределения известна (то есть никаким образом не зависит от неизвестного параметра),

2) при всех реализациях наблюдения одновременно функциянепрерывна и строго монотонна по(например, при всехфункциянепрерывна и возрастает по).

Предположим, что некоторым образом построена центральная статистика для –, поскольку функция распределенияизвестна (условие 1), то всегда можно найти числаитакие, что:

.

Поскольку функция непрерывна попри всех реализациях наблюдения, то при каждомсуществуют решенияисистемы уравнений (рисунок 5.1):

Рисунок 5.1.

Если функция возрастает попри всех реализациях наблюдения, тогда событияиэквивалентны и вероятности событий равны, то есть:

.

Пусть статистики и, тогда интервалявляется доверительным интервалом дляс уровнем доверия, поскольку для всех допустимых значений параметра:

,

следовательно,

.

Если функция убывает попри всех реализациях наблюдения, тогда эквивалентны событияии равны вероятности:

.

Пусть статистики и, тогда интервалявляется доверительным интервалом дляс уровнем доверия, поскольку для всех допустимых значений параметра:

,

тогда,

Аналогичным образом, с помощью центральной статистики могут быть построены доверительные границы.

2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.

Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданиеми известной дисперсией, построим доверительный интервал для математического ожиданияс уровнем доверия.

Поскольку все величины выборки имеют нормальное распределение, то статистикатакже имеет нормальное распределение с параметрами:

,

.

Тогда статистика :

,

имеет нормальное распределение не зависящее от неизвестного параметраи одновременно при всех реализацияхфункциякак функцияявляется непрерывной и убывающей. Согласно определению– центральная статистика для. Выберем числаитак, чтобы выполнялись равенства:

или

,

где - функция распределения нормальной случайной величины. Для нахождения минимума функциипри условиивоспользуемся методом Лагранжа, с функцией Лагранжа:

,

которая приводит к системе:

.

У второго уравнения системы или, очевидно, имеется только два решенияи, первое решение не удовлетворяет третьему уравнению системы, тогда:

Используя свойство функции нормального распределения получим:

.

Таким образом, есть квантиль уровняраспределенияи. Значениюможно придать иную интерпретацию:

,

то есть является квантилью уровняраспределения. Таким образом, получим равенство для вероятностей:

.

Преобразовывая неравенства, получим:

,

.

Преобразование неравенств фактически является нахождением решения системы:

.

Таким образом, при всяком значении параметра :

,

тогда интервал ():

,

где – является квантилью уровняраспределения, является доверительным интервалом дляс уровнем доверия.