- •Тема 5. Доверительные интервалы и границы.
- •1. Доверительный интервал, нижняя и верхняя доверительные границы.
- •2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.
- •3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с известным математическим ожиданием.
- •4. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием.
- •5. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.
- •6. Метод построения центральной статистики.
- •7. Построение доверительных интервалов на основе асимптотической нормальности. Доверительный интервал для вероятности события.
- •8. Доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения с неизвестными математическими ожиданиями и дисперсиями.
5. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией.
Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданиеми неизвестной дисперсией, построим доверительный интервал дляс уровнем доверия.
Рассмотрим статистику :
, |
(5.4) |
,.
Заметим, что:
1) , поскольку все величиныимеют нормальное распределение;
2) инезависимы, поскольку в силу теоремы 5.5 статистикиинезависимы;
3) имеет распределениев силу теоремы 5.5.
Из 1)-3) следует, что статистика имеет распределение Стьюдента сстепенью свободы. Кроме того, при всех реализациях выборкифункциякак функцияявляется непрерывной и убывающей, следовательно, случайная величинаявляется центральной статистикой для.
Пусть и– квантили уровнейираспределения, тогда:
,
,
.
Поскольку распределение Стьюдента является симметричным относительно нуля, то для функции распределениясправедливо равенство:
.
Отсюда следует, что , действительно:
.
Таким образом,
и следовательно интервал,
,
в котором ,и– квантиль уровняраспределения Стьюдента сстепенью свободы, является доверительным интервалом дляс уровнем доверия.
6. Метод построения центральной статистики.
Пусть – случайная величина с непрерывной и возрастающей пофункцией распределения, возможно зависящей от параметра. Рассмотрим случайную величину, легко видеть, что функция распределенияслучайной величины:
,
где обратная функция существует, поскольку функция распределениянепрерывна и возрастает. Заметим, что если, то:
,
таким образом,
,
и следовательно случайная величина имеет равномерное распределение, не зависящее от параметра.
Пусть – наблюдение и– статистика (например, оценка или достаточная статистика), функция распределения которойнепрерывна и возрастает пои кроме того известна полностью либо известна с точностью до значения параметра. Рассмотрим случайную величину, согласно рассмотренному выше свойству функции распределения, случайная величинаимеет равномерное распределение, не зависящее от параметра. Если при фиксированных,…,функциякак функция параметраявляется непрерывной и монотонной, тогдапо определению является центральной статистикой.
Для построения доверительного интервала достаточно вычислить число , где– уровень доверия,, тогда:
,
где – функция распределения. Посколькуимеет равномерное распределение, тои, тогда:
,
.
Разрешая неравенства относительно, получим доверительный интервал. Если функциявозрастает по, тогда:
.
Если функция убывает по, тогда:
.
Если функция возрастает по, то для построения нижней доверительной границы достаточно взятьи рассмотреть вероятность:
,
,
.
Для построения верхней доверительной границы достаточно взять и рассмотреть вероятность:
,
,
.
Если функция убывает по, то для построения нижней доверительной границы следует взятьи рассмотреть вероятность:
,
,
.
Для построения верхней доверительной границы следует взять и рассмотреть вероятность:
,
,
.
7. Построение доверительных интервалов на основе асимптотической нормальности. Доверительный интервал для вероятности события.
Пусть – наблюдение и случайная величинаимеет асимптотически (при) нормальное распределение:
, при;
В силу асимптотической нормальности:
, при,
тогда при больших справедливо приближенное равенство для вероятностей:
.
Пусть является квантилью распределенияуровня, где– уровень доверия:
,
тогда,
.
Разрешая неравенство относительно , получим «приближенный» доверительный интервал:
.
Воспользуемся вышеизложенным методом для построения «приближенного» доверительного интервала неизвестной вероятности события в схеме независимых испытаний. Пусть– выборка, в которой каждая случайная величинаявляется бинарной и принимает значение 1 с некоторой неизвестной вероятностьюи значение 0 с вероятностью:
.
Требуется построить приближенный доверительный интервал для вероятности . Рассмотрим случайную величину:
.
К случайным величинам применима центральная предельная теорема, в соответствии с которой суммаимеет асимптотически (при) нормальное распределение с параметрами, где:
,
,
тогда случайная величина:
имеет асимптотически (при ) нормальное распределение:
, при.
Пусть – квантиль распределенияуровня, тогда при больших:
,
,
,
,
,
где . Разрешая неравенство относительно неизвестной вероятности, получим:
Пренебрегая слагаемыми с множителем и с множителемпод корнем, получим приближенное неравенство:
,
,
.
Таким образом,
,
и «приближенный» доверительный интервал для вероятности имеет вид:
,
где и– квантиль распределенияуровня.