- •Тема 3. Неравенство Рао-Крамера, эффективные оценки. Информация Фишера. Достаточные статистики.
- •1. Нижняя граница дисперсии несмещенной оценки. Неравенство Рао-Крамера.
- •2. Информация Фишера.
- •3. Эффективные оценки. Экспонентное семейство распределений.
- •4. Достаточные статистики. Критерий факторизации.
Тема 3. Неравенство Рао-Крамера, эффективные оценки. Информация Фишера. Достаточные статистики.
1. Нижняя граница дисперсии несмещенной оценки. Неравенство Рао-Крамера.
Ранее указывалось, что оценки можно сравнивать на основе дисперсий – из двух оценок «лучше» та оценка, дисперсия которой меньше. Вполне естественно, что наибольший интерес представляют оценки с наименьшей возможной дисперсией и отсюда возникает ряд вопросов и в частности насколько малой может быть дисперсия оценки из некоторого класса (в частности из класса несмещенных оценок). Для несмещенных оценок ответ на этот вопрос в некоторых случаях дает неравенство Рао-Крамера: при выполнении условий регулярности дисперсия несмещенной оценки не может быть меньше некоторой вполне определенной величины.
Определение 3.1.
Пусть – вектор случайных величин ифункция плотности вероятности (или вероятность) вектора. Функциярассматриваемая как функция параметрапри фиксированных, ...,называетсяфункцией правдоподобия.
Определение 3.2.
Пусть – вектор случайных величин и– функция правдоподобия. Случайная функция
называется функцией вклада.
Определение 3.3.
Пусть – вектор случайных величин и– функция вклада. Функция
называется информацией Фишера о параметре , содержащейся в наблюдении.
В том случае, когда наблюдение представляет собой выборкуиз распределенияс плотностью вероятности:
,
все случайные величины выборки () имеют функцию распределения, поэтому функцияявляется плотностью вероятности для каждой из случайной величины выборки(). Поскольку случайные величины выборки, …,независимы, то плотность вероятностивекторной случайной величины:
.
Таким образом, если наблюдение является выборкой, то функция правдоподобия:
,
при этом функция вклада может быть записана следующим образом:
.
Пусть – множество всех возможных значений случайного вектораи– множество всех допустимых значений параметра, далее будем считать, что выполнены следующие условия, которые назовемусловиями регулярности:
R1) Множество не зависит от параметра.
R2) На множестве функция правдоподобияположительна:
при всех .
R3) Функция правдоподобия дифференцируема по параметрупри всехи всех.
R4) При всех справедливо равенство:
.
R5) При всех существует момент:
Заметим, что при каждом значении функция правдоподобияявляется функцией плотности вероятности, поэтому, как и для всякой другой функции плотности вероятности, для функциисправедливо равенство:
.
Продифференцируем левую и правую часть по и, пользуясь условиями регулярностиR1, R3 и R4, внесем дифференцирование под знак интеграла:
В силу условия R2 преобразуем подынтегральную функцию:
.
Таким образом,
(3.1) |
Заметим, что слева от знака равенства стоит в точности , таким образом, при выполнении условий регулярности:
.
Отсюда информацию Фишера при выполнении условий регулярности можно представить следующим образом:
.
Теперь перейдем к рассмотрению основного результата, касающегося дисперсий несмещенных оценок, который дается следующей теоремой.
Теорема 3.4. (неравенство Рао-Крамера)
Пусть наблюдение представляет собой вектор случайных величин ,– функция правдоподобия вектора, параметр, где– непустое множество допустимых значений параметра,– оценка величины. Если,
1) статистика является несмещенной оценкой величины;
2) функция дифференцируема попри всех;
3) выполнены условия регулярности R1-R5;
4) при всех существует производная:
;
тогда
,
где информация Фишера о параметре, содержащаяся в наблюдении.
Доказательство:
1) По условию 1 статистика является несмещенной оценкой:
.
Продифференцируем левую и правую часть по (производная левой части существует в силу условия 2, в правой – в силу условия 4) и в правой части внесем дифференцирование под знак интеграла (в силу условия 4):
Преобразуем правую часть в силу условия R2 (также как при выводе 3.1):
(3.2) |
2) При выполнении условий регулярности справедливо соотношение (3.1):
Умножим левую и правую часть на и внесем в правой частикак множитель, не зависящий от переменных интегрирования, …,:
(3.3) |
3) Из (3.2) вычитаем (3.3):
.
По условию 1 теоремы статистика является несмещенной оценкой:
.
В условиях регулярности (условие 3 теоремы) математическое ожидание функции вклада равно нулю (соотношение 3.1):
.
Таким образом:
.
В соответствии со свойством ковариации:
.
Таким образом,
.
Отсюда,
,
поскольку по определению информация Фишера .
Теорема доказана.
Следствие 3.5.
В условиях теоремы 3.4 равенство
имеет место тогда и только тогда, когда оценка и функция вкладасвязаны линейно, причем:
,
где .
Доказательство:
1) Пусть выполнено равенство , тогда
,
поскольку по определению . В пункте 3 доказательства теоремы 3.4 было показано, что
,
тогда
.
Отсюда по свойству ковариации следует, что оценка и функция вкладасвязаны линейной зависимостью:
(3.4) |
Вычисляя математическое ожидание левой и правой частей (3.4), получим:
.
В условиях теоремы 3.4 справедливы условия регулярности, при выполнении которых , тогда:
.
Статистика является несмещенной, то есть, тогда:
.
Вычисляя дисперсию левой и правой части (3.4), получим:
.
Поскольку по определению , тои поскольку выполнено равенство, то. Таким образом,
,
где .
2) Пусть статистика и функция вкладасвязаны линейной зависимостью:
,
тогда по свойству ковариации:
.
В пункте 3 доказательства теоремы 3.4 было показано, что
,
отсюда,
,
тогда,
,
так как по определению .
Поскольку статистика и функция вкладасвязаны линейно и выполнено равенство, то, как и в пункте доказательства 1, вычисляя математическое ожидание и дисперсию левой и правой части соотношения:
,
можно показать, что и.
Следствие доказано.
Замечание
В многомерном случае неравенство Рао-Крамера формулируется следующим образом: пусть – вектор случайных величин,– многомерный параметр,,, …,– несмещенные оценки,, …,, тогда при некоторых условиях:
, |
(3.5) |
где – дисперсионная матрица случайных величин,, …,(),– информационная матрица Фишера (),– матрица производных (), символозначает транспонирование. Неравенство (3.5) следует понимать в следующем смысле: для любого вектора-столбца,
.
Выражение, стоящее слева, есть квадратичная форма , а выражение, стоящее справа, – квадратичная форма:
.
Преобразуем выражение, стоящее слева, обозначив вектор-столбец случайных величин и вектор-столбец функций:
.
Поскольку , …,несмещенные оценки, …,, то, тогда,
.
Таким образом,
,
поскольку , так как– не случайная величина, тогда,
.
Выберем произвольным образом ,, и представим, что в векторе-ая компонента равна единице, а все остальные компоненты равны нулю:
,
тогда левая часть неравенства окажется равной , а правая – соответствующему диагональному элементу:
,
Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы являются нижними границами дисперсий оценок, …,.