Лекции

Пример

Пусть – доля дефектных изделий.

Из N изделий случайно выбираем одно изделие и смотрим на результат:

{

1 (дефект), с вероятностью

0, с вероятностью

1

Продолжаем выбирать

изделия

,

раз,

1

получаем случайные результаты:

(

,

,

,

)

Все

независимы и случайно распределены.

0

1

Возникающие вопросы (типы задач):

1.

По выборке

,

,

,

оценить

(теория точечного оценивания).

̂

̂( ,

,

,

),

̂

2.

Указать диапазон для

(теория интервального оценивания).

̂( ,

, ,

)

̂

̂

̂( ,

, , ), ̂, ̂

3.

По выборке

,

, ,

ответить на вопрос: можно ли считать, что

неизвестное

распределение обладает

некоторым свойством (теория

проверки математических гипотез)

2) 0,1

0,2

А-13-08 | http://a1308.ru

1 | С т р а н и ц а

Определение

Последовательность

,

, ,

независимых случайно распределённых по

закону

(

) случайных величин называется выборкой (выборкой объёма из

генеральной совокупности, распределённой по закону

(

)).

Определение

Статистика – любая функция наблюдения.

Например:

∑

,

∑

,

.

Рассмотрим выборку случайных величин

,

,

,

, распределённых по

закону

(

| ), зависящего от случайного параметра

, то есть

( | ).

Определение

Оценка ̂

(

,

,

,

)

(

) называется несмещённой, если

(

)

̂

( )

(

,

,

, )

∫ ∫ ( ,

, ,

)

( ,

, ,

| )

( )

( )

̂

(

)

Определение

Оценка ̂

(

,

,

,

)

(

) называется несмещённой, если

( (

)

)

0

Определение

Оценка ̂

(

,

,

,

)

(

) называется смещённой, если

( )

(

)

А-13-08 | http://a1308.ru

2 | С т р а н и ц а

б) Состоятельность.

Определение

Оценка ̂

(

,

,

,

)

(

) называется состоятельной, если

(

)

,

( )

Определение

Оценка ̂

(

,

,

,

)

(

) называется состоятельной, если

0,

Признак состоятельности

0,

.

в) Оптимальность.

, (

)

-

Определение

Оценка

(

,

, ,

)

(

) называется оптимальной, если

,

(

)

-

, ( )

-

*

+

Если оценка

( ) несмещённая, то

.

Введём функцию штрафов:

(̂,

)

( (

), ).

риска оценки

:

(

)

(̂,

)

(

( ),

)

Определение

Оценка

(

, , ,

)

(

) называется оптимальной, если

(

)

(

)

*

+

20. Оценивание вероятностей моментов.

а) Оценка вероятности случайного события A.

(

)

Пусть проведено

независимых испытаний случайного события A.

– количество появления события A в

испытаниях.

(

, )

Рассмотрим для

оценку

̂

.

̂

1

̂несмещённая

А-13-08 | http://a1308.ru

3 | С т р а н и ц а

, ̂ -

̂

1

(1

)

0,

̂состоятельна

Рассматриваются

независимых наблюдений случайной величины .

:

, ,

,

,

(

)

– фиксировано.

( )

*

+

(

)

– количество появления события

в

испытаниях.

( ,

( ))

̂

(

)

(

)

функция эмпирического распределения.

̂

1

̂

(

)

( )

( )

(

) несмещённая

̂

̂

1

( )(1

( ))

[

(

)

(

)]

(

)

0,

̂

(

) состоятельна

* ( )

( ),

+

{

0

*| ( )

( )|

+ 1}

: ,

, , ,

(

)

∫

( )

̂

∫

( ,

̅, ̅, , ̅)

1

∑

̅ выборочная средняя

1

1

̂

∑

̂ несмещённая

А-13-08 | http://a1308.ru

4 | С т р а н и ц а

, ̂

-

̂

[

1

∑ ]

1

1

̅ 0,

̂ состоятельная, если

конечна.

А-13-08 | http://a1308.ru

5 | С т р а н и ц а

г) Оценивание неизвестной дисперсии .

:

,

,

,

,

( )

∫ (

)

(

)

(

,

,

,

, )

(

),

Оценка для математического ожидания:

̂

1

∑

̅→

1

̂

∫ (

̅

( )

∑(

̅

̃

выборочная дисперсия

)

)

Выполним преобразования:

̃

1

∑(

̅

1

∑[(

)

(

̅

)]

)

1

∑(

) 2( ̅

)

1

∑(

) ( ̅ )

̅

1

∑(

)

( ̅

)

(

)

(

)

( ̅

1

)

( ̅

)

̅

1

1

̃

∑

(

)

( ̅

)

̃

смещённая для

Рассмотрим другую оценку:

̃

1

̅

исправленная выборочная дисперсия

1

1 ∑(

)

1

несмещённая

1

А-13-08 | http://a1308.ru

6 | С т р а н и ц а

1

(

3

) → 0

состоятельная,

1

где

(

)

– -ый центральный момент.

Теорема Хинчина

Если

, , ,

– последовательность независимых одинаково

необходимо и достаточно существование математических ожиданий

.

{ БЧ:

1

∑

,

}

Рассмотрим состоятельность выборочной дисперсии:

̅

,

,по теореме Хинчина-

1

∑(

)

,

,по теореме Хинчина-

̃

1

∑(

)

( ̅

)

,

̃

,

1

д) Оценка моментов порядка

2.

:

, , ,

,

(

)

̂

1

∑

,

,по теореме Хинчина-

∫ (

)

( )

1

̅

̂ ∑(

)

,

А-13-08 | http://a1308.ru

7 | С т р а н и ц а

Определение

Последовательность

*

+

сходится

к

0

по

вероятности (

0

или

*

+

0), если

0 *|

|

+ →

1.

Определение

Последовательность *

+ сходится к 0 в средне квадратичном (

с.к.

0 или

→

0), если

→

0.

Определение

Последовательность *

+ сходится к 0 почти наверное (

п.н.

0 или

0 с

→

вероятностью 1), если вероятность случайного события

*

0+

1.

30. Свойства сходимости по вероятности:

1.

Пусть

и

, тогда

.

2.

Пусть

и С

с (числовая последовательность),

тогда

|

|

.

3.

Пусть

, тогда

(

)

(

), если

непрерывна в точке .

,

,

,

– независимые случайные величины;

,

,

,

– независимые случайные величины.

0

А-13-08 | http://a1308.ru

8 | С т р а н и ц а

̂ (∑ ) ∑

* , , , +

( , , , , )

∑

(∑ 1)

2

с

0

2

тогда

∑

1

(∑ )

̂

∑

Необходимо знать характеристику точности величины, то есть

дисперсию.

̂

∑

(∑

)

А-13-08 | http://a1308.ru

9 | С т р а н и ц а