3.3. Сложные ставки процентов

3.3.1. Сложные ставки ссудных процентов

Обозначения:

i_с – годовая ставка сложных ссудных процентов;

PV – первоначальная сумма денег, которую получает заемщик

FV_n – наращенная сумма, которая должна быть возвращена кредитору через n лет;

FV_d - наращенная сумма, которая должна быть возвращена кредитору через d дней.

I – сумма процентных денег, выплачиваемых за весь период начисления;

n – период начисления в годах

m – количество интервалов начисления в одном году;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов

При использовании схемы сложных ссудных процентов база начисления на каждом интервале начисления включает не только первоначальную сумму PV, но и сумму процентных денег (I), невостребованных кредитором по прошествии соответствующего интервала начисления. Т.е. база начисления сложных процентов постоянно возрастает.

Рассмотрим, каким образом происходит начисления процентов в случае, когда интервалом начисления процентов является один год.

Наращенная сумма за первый год начисления процентов по схеме сложных ссудных процентов FV₁ рассчитывается по следующеё формуле:

FV₁ = PV + I = PV + PV х i_c = PV (1 + i_c)

Во втором году к базе начисления в размере первоначальной сумме PV прибавится сумма процентных денег за год I. Таким образом, базой начисления процентов во втором году будет наращенная сумма первого года FV₁:

FV₂ = FV₁ + FV₁ х i_с = PV (1 + i_c) + PV (1 + i_c) х i_с = PV (1 + i_c)(1 + i_c) = PV (1 + i_c)²

В третьем году базой начисления процентов будет выступать наращенная сумма второго года FV₂:

FV₃ = FV₂ + FV₂ х i_с = PV (1 + i_c)² + PV (1 + i_c)² х i_с = PV (1 + i_c)²(1 + i_c) = PV (1 + i_c)³

Соответственно в n-ом году базой начисления процентов будет выступать наращенная сумма предыдущего года FV_n-1:

FV_n-1 = FV_n-1 + FV_n-1 х i_с = PV (1 + i_c)^n-1 + PV (1 + i_c)^n-1 х i_с = PV (1 + i_c)^n-1(1 + i_c) = PV (1 + i_c)ⁿ

И

FV_n = PV (1 + i_c)ⁿ

тоговая формула расчета наращенной суммы за период в n лет будет выглядеть следующим образом

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году. В этом случае устанавливается величина годовой процентной ставки (j – номинальная ставка процентов), по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления внутри года.

Если число интервалов начисления внутри года равно m, то на каждом интервале начисления величина ставки процентов составит j/m. Таким образом, при сроке ссуды n лет общее число интервалов начисления составит m х n.

Итоговая формула расчета наращенной суммы за период в n лет, если проценты начисляются m раз в году, будет выглядеть следующим образом

FV_n = PV (1 + j/m) ^mn

Коэффициент наращения за n лет, при использовании схемы сложных ссудных процентов рассчитывается по формуле

FV_n (1 + i_c)ⁿ

К_н = -------- = ---------------

PV PV

Сфера применения сложных учетных ставок процентов: большинство финансовых операций, связанных в предоставлением денег в долг. Данная схема является наиболее распространенной в настоящее время.