45. Определение, предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Соответствие f, к-рое каждому упорядоченному набору из n действительных чисел сопоставляет единственное действительное число наз. функцией n переменных. В дальнейшем будем рассм. функции 2-х и 3-х переменных

Множество наборов из n действительных чисел наз областью определения ф-ции, а значений принимаемых ф-цией – областью изменения.

Число А наз. пределом функции , в точке М ( ) ;(запись ), если существует такое число такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется н-во:

Каким бы ни было число всегда найдется окрестность точки М ( ), что для всех точек, кроме быть может самой точки М из этой окрестности значения ф-ции отличаются по модулю от числа А меньше чем на .

Предел не зависит от траетории приближения к точке М. Cв-ва аналогичны пределам ф-ций 1-ой переменной

Функция наз непрерывной в точке М ( ), если

45. Частные производные первого и высших порядков.

Высших порядков: вторые производные по x и по y

Смешанные производные по х и по у, и по у и по х

Если функция непрерывна по каждой из своих частных производных, то смешанные производные не зависят от последовательности дифференцирования

₄₇. Дифференцируемость функции двух переменных. Полный дифференциал.

наз дифференцируемой в точке М ( ), если полное приращение в этой точке

Главная линейная часть полного приращения, когда наз полным дифференциалои

_{Из необходимого условия дифференцируемости ф-ций получаем} для непрерывной ф-ции, имеющей частные производные

48.Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Точка минимума (максимума) – точка для к-рой существует такая окрестность, что значение функции в этой точке самое маленькое (большое)

Значения ф-ции в точках минимума (максимума наз минимумом (максимумом)

Необх. усл. экстремума если в точке дифференцируемая ф-ция имеет экстремум, то частные производные в ней равны нулю,

Дост. усл экстремума

При

52. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке .(Или другими словами, дифференциал dF(x)=f(x)∙ dx.)

Т.Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то функции f(x) имеет бесконечное множество первообразных. Любая первообразная функции f(x) имеет вид F(x)+С, где С есть произвольное постоянное число.

Докажем вначале, что если F(x) есть первообразная для f(x), то F(x)+С также первообразная для f(x).

Для этого воспользуемся определением первообразной и условием теоремы. Согласно условию теоремы , и необходимо доказать, что . Применяя правило дифференцирования производной суммы функций получаем: . Первая часть теоремы доказана.

Докажем теперь утверждение, что все производные данной функции могут отличаться друг от друга лишь на константу. Для этого воспользуемся методом от противного. Предположим, что F₁(x) и F₂(x) первообразные для f(x), которые отличаются друг от друга на . Составим функцию .

(По условию теоремы ) Мы получили, что внутри всего промежутка, следовательно, согласно достаточному признаку постоянства функции получаем . Таким образом, . Получено противоречие с первоначальным допущением, что доказывает справедливость второго утверждения теоремы. Теорема доказана.

На основе теоремы об общем виде всех первообразных данной функции можем ввести понятие неопределенного интеграла.

Неопределенным интегралом функции f(x) называют множество всех ее первообразных, т.е. = F(x) + C, где F(x) одна из первообразных для функции f(x). Функция f(x) называется подынтегральной. Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением.

Т. О существовании неопределенного интеграла. Если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на этом промежутке.

53. Свойства неопределенного интеграла. 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. 2. 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак интеграла 4. Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. 5. Если известно, что = F(t) + С, то , где a , a=const; b=const.