2. Метод Фибоначчи.

Часто в вычислительных процедурах существенные трудности возникают в связи с вычислениями значений. Например, вычисляется в процессе эксперимента, либо задана сложной формулой.

К методам, в которых при ограничениях на количество вычислений значений достигается в определенном смысле наилучшая точность, относятся методы Фибоначчи и золотого сечения.

Как и в методе дихотомии, процедура будет заключаться в последовательном уменьшении отрезка неопределенности на основании анализа значений функции в двух внутренних точках отрезка с существенным отличием от предыдущего, состоящего в том, что одна из внутренних точек последующего отрезка неопределенности совпадет с одной из двух внутренних точек предыдущего отрезка неопределенности.

Определение.

Последовательность чисел

называется последовательностью Фибоначчи.

Зададимся некоторым и выпишем последовательность чисел Фибоначчи.

Итак, необходимо найти минимум на отрезке с точностью.

Опишем 1-й шаг метода Фибоначчи.

Как и в предыдущем методе найдем на отрезке:

;

Из формул видно, что симметричны относительно середины отрезка.

Дальнейшая процедура уменьшения отрезка неопределенности совпадает с методом дихотомии. Итак, основное отличие метода Фибоначчи от метода дихотомии состоит в выборе точек на каждом шаге.

В силу свойств последовательности Фибоначчи, на каждом шаге, кроме 1-го и предпоследнего, вычисляется одно новое значение функции, другое значение используется из предыдущего шага. Только на 1-м шаге значение вычисляется дважды, а на предпоследнем, когда совпадает с, известно из предыдущего шага. Можно показать, что на -м шагесовпадут, этим завершится процедура деления отрезка неопределенности. Для получения окончательного результата необходимо вычислить и , где - малая величина, параметр метода.

Если , то полагают, что, в противном случае.

Посмотрим, как уменьшается отрезок неопределенности

;

....................................................................................

Таким образом, -й шаг метода Фибоначчи обеспечивает уменьшение длины отрезка неопределенности в раз.

Необходимо заметить, что для решения задачи минимизации с заданной точностью необходимо решить неравенствоотносительно , получить последовательность чисел Фибоначчи и использовать ее с конца.

Замечание 1.

Нетрудно заметить, что теоретически достаточно найти первую точку метода , остальные точки можно получать, используя свойство их симметрии относительно центра отрезка, однако в этом случае быстро накапливается погрешность. Чтобы избежать накопления погрешности, следует пересчитывать точкипо соответствующим формулам.

Замечание 2.

Поскольку определяется сначала как функция от, алгоритм не позволяет получить более точный результат путем продолжения счета. Для обеспечения другой точности необходимо реализовать новую вычислительную процедуру.

Рисунок 3.3.11

Блок-схема метода Фибоначчи.

Пример.

Найти минимум на отрезке c

Начнем с определения :

	1
	1
	2
	3
	5
	8
	13
	21
	34
	55

Для решения поставленной задачи потребуется 9 шагов по методу Фибоначчи, при этом понадобится 9 раз вычислять . Заметим, что для решения этой же задачи методом дихотомии мы проделали 7 шагов, то есть вычисляли 14 раз.

1-й шаг.

;

.

2-й шаг.

.

3-й шаг.

;

.

4-й шаг.

;

.

5-й шаг.

;

.

6-й шаг.

;

.

7-й шаг.

.

8-й шаг.

;

.

9-й шаг.

;

.

Замечание.

Вычисления проводились с 5 знаками после запятой, поэтому точки последующего и предыдущего шага совпадают не полностью.