3. Критерии останова.

Процесс вычислений желательно прервать, если

• достигнута требуемая точность вычислений;

• хорошее приближение не найдено, но скорость продвижения к оптимуму так упала, что нет смысла продолжать дальше;

• метод начал расходится или зациклился.

Часто на практике критерием прерывания по 2-й или 3-й причине является выполнение предельно допустимого числа получений приближенных решений.

Рекомендуется всегда этот критерий вводить в программу, даже если есть большая уверенность в благополучном завершении вычислений.

Если необходимо решить задачу оптимизации с точностью , то в качестве критерия окончания вычислений может служить

Однако, для ряда задач, особенно негладких, этот критерий может привести к ложному решению.

Поэтому, наряду с этим критерием обычно применяют один из двух следующих или даже сразу два:

где - малые константы.

3. Методы минимизации 0-го порядка.

Напоминаем, что эти методы оперируют только со значениями .

1. Метод дихотомии.

Итак, необходимо найти с точностью в предположении, что унимодальна на .

Это значит, что если - точное решение задачи минимизации на , а- приближенное, то

Суть метода заключается в последовательном уменьшении отрезка, покрывающего точку минимума.

Рассмотрим один шаг метода.

Точкой делим отрезокпополам, поскольку унимодальна, то и, однако точка минимума может оказаться как в левой, так и в правой части отрезка.

На рисунке представлены две унимодальные функции, имеющие точку минимума в разных половинах отрезка .

Рисунок 3.3.8

Следовательно, по значению функции в средней точке отрезка нельзя сузить отрезок неопределенности.

Внутри отрезка выберем две точки:

;

где- параметр метода,.

Напоминаем, что выбор малых констант должен быть согласован с машинной точностью, то есть не должны быть меньше машинной точности.

В силу унимодальности точка минимума попадет либо в отрезок, либо в.

Если , то не может в этом случае попасть в отрезок, так как нарушилась бы унимодальность .

Если , то .

Если , то . Но часто этот случай не выделяют отдельно, а включают знак равенства в один из выше рассмотренных случаев.

Таким образом, после первого шага метода постановка задачи осталась прежней с уменьшенным отрезком неопределенности, в котором находится точка минимума.

Многократное применение описанной выше процедуры приведет к тому, что отрезок неопределенности сузится до желаемого. Поскольку алгоритм работает в условиях леммы о вложенных отрезках, сходимость метода гарантирована.

На рисунке ниже представлена блок-схема метода дихотомии.

Рисунок 3.3.9

Пометим индексами номер шага.

- левый конец отрезка неопределенности при й итерации.

- соответственно правый конец

Тогда согласно описанию I - го шага

По математической индукции предположим, что

Рассмотрим :

Таким образом, методом математической индукции доказали, что после выполнения k - го шага метода дихотомии

Поскольку задача решается с точностью , то необходимое число шагов метода должно удовлетворять неравенству:

или

Таким образом, заранее по постановке задачи мы можем узнать число шагов метода.

Замечание 1.

Из последней оценки видим, что число шагов метода не зависит от вида.

Замечание 2.

Этот метод можно применять для минимизации функций, не являющихся унимодальными, однако, без гарантии, что будет найден обязательно глобальный минимум.

Пример.

Найти минимум на отрезке c

Решение.

Предварительно оценим, сколько шагов для этого потребуется. Выберем .

.

Поскольку - целое, то потребуется 7 шагов. Осуществим их.

1-й шаг.

.

2-й шаг.

;

.

3-й шаг.

;

.

4-й шаг.

;

.

5-й шаг.

;

.

6-й шаг.

; .

7-й шаг.

;

.

Следовательно, действительно, только 7 шагов приводят к решению с заданной точностью. В качестве принимаем -0,01.

На следующем рисунке проиллюстрировано уменьшение отрезка неопределенности по шагам.

П

Рисунок 3.3.10

ошаговое уменьшение отрезка неопределенности.