3.Распределение сил в наступлении и обороне.

Сторона А, располагающая тремя(четырьмя) батальонами пехоты, стремится захватить некоторый объект В; сторона В, располагающая четырьмя батальонами пехоты, стремится воспрепятствовать этому. Каждый из наступающих батальонов может быть направлен к объекту по любой из двух дорог: I и II. Сторона В также может расположить любой из своих батальонов на любой из дорог. Если на дороге силы стороны В встречаются с превосходящими силами стороны А, последние оттесняют оборону, проходят к объекту и занимают его; если же на дороге оборона численно превышает нападение, атака отбивается, силы стороны А отходят и больше не возобновляют нападение. Если на дороге встречаются силы одинаковой численности, сторона А с вероятностью 0.4(0.3) побеждает и проходит к объекту, а с вероятностью 0.6(0.7) атака оказывается отбитой. Определить оптимальное количество батальонов, которое следует направить на каждую из дорог.

(обозначить выигрыш А - вероятность захвата объекта В)

4.Две конкурирующие фирмы собираются освоить два новых рынка сбыта продукции. Фирма А имеет возможность вложить в освоение рынков 10(12) тыс. долл., состоящие из двух неделимых пакетов по 5(6) тыс. долл., фирма В - 14(10) тыс. долл., состоящие из двух неделимых пакетов по 7(5) тыс. долл. Считая, что прибыль с продажи продукции на рынках пропорциональна вложенным средствам, но не превосходит максимально возможной прибыли с 1-го рынка -130(120) тыс. долл., со 2-го - 120(140) тыс. долл., определить оптимальные стратегии вложения средств для фирм А и В.

5.Сторона А планирует нанесение удара по одному из 4-х объектов стороны В, которая в силу ограниченного количества защитных средств может организовать эффективную оборону только одного объекта. Ценность объектов представлена в таблице:

Номер объекта	1	2	3	4
Ценность (усл. ед)	10(9)	7(8)	9(7)	6(5)

Определить оптимальные стратегии сторон, если вероятность уничтожения обороняемого объекта - 0,4(0.3), необороняемого - 1. (В качестве проигрышей стороны А взять математическое ожидание ущерба).

6.В одном из трех районов акватории находится подводная лодка стороны В. Для поиска этой подводной лодки сторона А имеет 3 противолодочных кораблей, которые могут быть распределены по районам различным образом. Вероятность обнаружения подводной лодки одним противолодочным кораблем в каждом районе зависит от размеров и физико-гидрографических условий района. Данные о вероятностях представлены в таблице:

Район	1	2	3
Вероятность обнаружения	0.3(0.4)	0.5(0.2)	0,6(0.5)

Считаем, что обнаружение подводной лодки каждым из противолодочных кораблей является независимыми событиями. Сторона А должна распределить противолодочные корабли по районам, а сторона В - выбрать район действия подводной лодки. (В качестве элементов платежной матрицы взять вероятность обнаружения подводной лодки).

7.Фирма А производит некоторый сезонный товар, который имеет спрос в течение 4-х (3-х) единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент i {i=1..4}( i=1..3). Конкурентная фирма В производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j {j=1..4}(j=1..3). Качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок - чем позже товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше. Реализуется только товар более высокого качества. В том случае, когда на рынок одновременно поступают оба товара, считаем что эти товары имеют одинаковый спрос. Определить время поступления товара фирмы А на рынок, обеспечивающее максимальный доход, если прибыль от продажи товара в единицу времени одинакова для обеих фирм и равна 20 (30) усл.ед.

8.Бомбардировщики и истребитель.

Сторона А посылает в район расположения противника В два(три) бомбардировщика I и II(I, II и III); I летит спереди, II - сзади(I летит спереди, за ним II, III - сзади). Один из бомбардировщиков, заранее неизвестно какой, должен нести бомбу; другие выполняет только функцию сопровождения. В районе противника бомбардировщики подвергаются нападению истребителя стороны В. Все бомбардировщики вооружены пушками. Если истребитель атакует последний бомбардировщик, то по нему ведут огонь пушки только этого бомбардировщика, поражающие истребитель с вероятностью 0.3. Если истребитель атакует первый(второй) бомбардировщик, по нему ведут огонь пушки как первого(второго) так и последнего бомбардировщика. (Если истребитель атакует первый бомбардировщик, по нему ведут огонь пушки всех трех бомбардировщиков.) Если истребитель не сбит ответным огнем бомбардировщиков, то он поражает выбранную им цель с вероятностью 0.8. Задача бомбардировщиков - донести бомбу до цели; задача истребителя - воспрепятствовать этому. Определить оптимальные стратегии сторон.

9.Сторона А - средства ПВО - обороняет от воздушного налета участок территории, располагая орудиями №1 и №2(№1, №2 и №3), зоны действия которых S₁, S₂ (S₁, S₂ и S₃) не перекрываются. Каждое орудие может обстрелять только самолет, проходящий через его зону действия, но для этого оно должно заранее (до входа цели в зону) следить за ним и вырабатывать прицельные данные. Если цель обстреляна, она поражается с вероятностью p=1, иначе не поражается. Сторона В располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в любую зону. В момент, когда сторона А осуществляет целераспределение - назначает, какому орудию за каким самолетом следить, сторона В решает какому самолету в какую область лететь. Задача стороны А - обратить в максимум, а стороны В - обратить в минимум число пораженных целей. Найти оптимальные стратегии для обоих сторон.

10.Предположим, что в некотором городе имеются два предприятия, которые выпускают продукцию одного и того же назначения. Первое предприятие (А) может выпускать продукцию типа Д₁, Д₂,...,Д₅. Второе (В)- продукцию типа М₁, М₂,...,М₅. Себестоимость и продажная цена всех видов продукции одинакова. Социологи установили, что в городе найдет сбыт 10000(5000) единиц товара всех видов, причем, если первое предприятие будет выпускать продукцию Д_i, а второе - типа М_j, то вероятность спроса товара Д_i равна р_ij. Прогнозируемая доля товаров предприятия А:

	М1	М2	М3	М4	М5
Д1	0.5(0.3)	0.5(0.6)	0.4(0.5)	0.5(0.4)	0.2(0.6)
Д2	0.5(0.1)	0.4(0.5)	0.7(0.3)	0.1(0.7)	0.6(0.3)
Д3	0.2(0.5)	0.3(0.7)	0.4(0.3)	0.1(0.6)	0.7(0.4)
Д4	0.3(0.4)	0.6(0.2)	0.7(0.1)	0.3(0.7)	0.2(0.5)
Д5	0.4(0.6)	0.4(0.3)	0.3(0.2)	0.1(0.4)	0.2(0.3)

Определить оптимальные стратегии руководства предприятий по выпуску продукции.

11.Авианосное ударное соединение “зеленых” планирует нанесение ударов по авианосному ударному соединению “синих” в период Т, который состоит из 4-х (3-х) единиц времени. Удары, начиная с момента i, наносятся в каждую последующую единицу времени. В свою очередь, “синие” для защиты кораблей предполагают в тот же период Т использовать средства радиоэлектронного противодействия (РЭП), которые после постановки в момент j создают противодействие в каждый последующий момент времени без изменения своих характеристик. Допустим, что средства РЭП, поставленные до начала нанесения ударов, обнаруживаются средствами разведки, в результате чего эффективность этих средств снижается до нуля. С другой стороны, если удары наносятся ранее постановки РЭП, то эти средства снижают эффективность оружия до нуля. Кроме того, будем считать, что запланированное время нанесения ударов и постановки средств РЭП, не может быть изменено, а удары наносятся с одинаковой интенсивностью. Пусть математическое ожидание числа уничтоженных кораблей “синих” в единицу времени при нанесении ударов без противодействия средств РЭП равно с=0.4 (0.6). Кроме того, примем, что если удары наносятся одновременно с использованием средств РЭП, то математическое ожидание числа уничтоженных кораблей “синих” в единицу времени равно с/2 и остается постоянным для соответствующего отрезка периода Т.

12. Пусть игрок В для уклонения от самонаводящихся торпед может применить j-е {j=1,2,3} средство гидроакустического противодействия (ГПД), а сторона А - использовать в устройстве самонаведения i-e {i=1,2,3} помехозащитное устройство. Считаем, что помехозащитное устройство i снижает эффективность средства i гидроакустического противодействия до нуля. В остальных случаях будем полагать, что 1-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 20(30) единиц 2-м и 3-м средствам ГПД, 2-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 10 (20) единиц 1-м и 3-м средствам ГПД, а 3-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 1 (2) единиц 1-м и 3-м средствам ГПД. Определить оптимальные стратегии использования помехозащитных устройств и ГПД.

4