№3.Игры с природой

Лабораторная работа № 3

Тема: Игры с природой

Цель работы: Ознакомиться с критериями принятия решений в условиях риска и неопределенности.

В игре с “природой” возможны две ситуации в зависимости от информированности оперирующей стороны:

1. принятие решение в условиях риска. Эта ситуация возникает, когда состояние (стратегия) “природы” - случайная величина с известным распределением;

2. принятие решения при наличии неопределенности. Известно лишь множество состояний “природы”, но нет информации о вероятностях, с которыми “природа” принимает эти состояния.

Данные, необходимые для принятия решений, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям оперирующей стороны, а столбцы - возможным состояниям “природы”. Каждому действию и каждому возможному состоянию соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния. Обозначим a_i (i=1,2,...m) - стратегии оперирующей стороны, _j (j=1,2,...,n) - возможное состояние “природы”, P_j (j=1,2,...,n) - вероятности состояний природы _j, (a_i,_j) - исход операции.

Критерии принятия решения в условиях риска

1. Критерий ожидаемого значения. (Случайные величины заменяются на их математическое ожидание и решение принимается как в условиях определенности.) Среднее значение выигрыша (потери) для i-й стратегии игрока - определяется как . В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать ту из стратегий a^*=a_i, для которой величина максимальна (минимальна), если (a_i,_j) -выигрыши (потери). Принятое решение является оптимальным в среднем, т.е. этот критерий оправдан, если решение принимается достаточно большое число раз.

2. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия”. Критерий ожидаемого значения основан на определении среднего, однако среднее не всегда адекватно отражает реальность, т.к. не учитывается разброс значений. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия” устраняет этот недостаток.

3. Критерий наиболее вероятного исхода. (Случайная величина заменяется значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.)

Пример1. Задача о замене оборудования.

Установленное на предприятии оборудование после нескольких лет работы может оказаться в одном из трех состояний:

₁ - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта;

₂ - некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или замены;

₃ - основные детали износились настолько, что дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна.

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаев оно может находиться в состоянии ₁, в 50% - в состоянии ₂ и .в 30% случаев состоянии ₃.

Для предприятия возможны три различных способа действия:

a₁ -оставить оборудование в работе еще на год, проведя незначительный ремонт;

a₂ - провести капитальный ремонт оборудования;

a₃ - заменить оборудование новым.

Потери, которые несет предприятие при различных способах действия, приведены в таблице:

Стратегии предприятия	Состояния природы
	1	2	3
a1	1	5	7
a2	3	2	6
a3	5	4	3
Вероятности состояний природы	0,2	0,5	0,3

Решение: Решим задачу с помощью критерия ожидаемого значения. Определим средние потери предприятия при применении стратегий a₁, a₂, a₃:

=10,2+50,5+70,3=4,8,	(*)
=30,2+20,5+60,3=3,4,
=50,2+40,5+30,3=3,9,

Оптимальной по критерию ожидаемого значения является стратегия a_2.

Критерии принятия решения при наличии неопределенности

1)Критерий Лапласа.

Поскольку вероятности состояний ₁,₂,...,_n неизвестны, то можно предположить, что они одинаковы. Тогда исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие a_i, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится a_i, т.ч., где - вероятность реализации состояния _j (j=1,2,...,n).

Пример 2. Рассматривается игра с природой 33 с тремя стратегиями игрока a₁, a₂, a₃ и состояниями природы ₁, ₂, ₃. Матрица выигрышей дана таблицей:

	1	2	3
a1	4	9	7
a2	7	10	4
a3	7	6	9

Решение: Принцип Лапласа предполагает, что ₁, ₂ и ₃ равновероятны. Следовательно, P(_j)=, j=1,2,3 и ожидаемые выигрыши при различных стратегиях равны:

E{a₁}=(4+9+7)=; E{a₂}=(7+10+4)=; E{a₃}=(7+6+9)=. Естественно, лучшей считать стратегию, дающую больший выигрыш. Таким образом, наилучшей стратегией в соответствии с критерием Лапласа будет a₃.