Лабораторные работы / LAB1

№1.Основы моделирования.

Лабораторная работа № 1

Тема: Основы моделирования

Цель работы: Научиться строить математические модели простейших задач исследования операций.

Проблемы управления и принятия решений занимают всё более широкое место в научных исследованиях. Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые принято объединять под общим названием “Исследование операций”. Под исследованием операций понимается применение математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Основным этапом решения задачи исследования операций является построение математической модели.

Математическая модель - некоторое приближённое отображение действительности, описываемое с помощью того или иного математического аппарата. Модель должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность проблемы. В то же время модель должна быть достаточно свободной от несущественных деталей, так как их учёт осложняет математический анализ и делает результаты исследований трудно обозримыми.

Введем следующие определения.

Операция - совокупность действий, направленных на достижение определённой цели. Участников операции, стремящихся к достижению этой цели, называют оперирующей стороной.

Все факторы, от которых зависит исход операции, можно разделить на две группы:

1. Факторы, которыми распоряжается оперирующая сторона для достижения цели операции называются контролируемыми. Обозначим их x₁,x₂,...,x_n, а совокупность всех значений контролируемых факторов - M.

2. Факторы операции, которыми оперирующая сторона не распоряжается, называются неконтролируемыми.

В зависимости от наличия информации неконтролируемые факторы делятся на:

1. Неопределённые факторы y - известно лишь множество значений N факторов y.

2. Случайные факторы z - известно множество значений Z и закон распределения случайной величины z.

Стремление оперирующей стороны к достижению цели формализуется введением целевой функции F(x,y,z) называемой критерием эффективности.

Формально задача исследования операций выглядит следующим образом:

max(F(x,y,z)), где xM, yN, zZ.

Определение всех факторов x, y, z и построение критерия эффективности F(x,y,z) являются наиболее важными этапами построения математической модели.

Классификация моделей

Модели, используемые в исследовании операций можно условно разделить на:

1. Аналитические. Применяются в случае, когда возможно явное, формульное описание критериев эффективности и ограничений, накладываемых на решение задачи. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей, движение тел и т.п.

2. Статистические. Используются при наличии случайного неконтролируемого фактора. Решаются такие задачи путём моделирования случайных величин и оценки результатов методами математической статистики. Примерами использования таких методов могут служить системы массового обслуживания, задачи в сфере управления запасами, экономическое планирование и т.п.

3. Эвристические. Модели, используемые для получения решений с помощью неформальных правил (основанные на опыте, интуиции и т. п.). Сфера применения - задачи, имеющие нечисловую природу, отличающиеся неопределённостью каких-либо параметров, большой размерностью.

Рассмотрим задачу на построение аналитической модели:

Пример. Предприятие, специализирующееся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта:

продукт 1 - картофельные дольки;

продукт 2 - картофельные кубики;

продукт 3 - картофельные хлопья.

В начале технологического процесса необработанный картофель сортируется по размеру и качеству, после чего его распределяют по различным поточным линиям. Предприятие может закупать картофель у двух различных поставщиков. При этом объёмы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из 1 т. картофеля первого поставщика, отличаются от объёмов продуктов 1, 2, 3 получаемых из того же количества картофеля второго поставщика.

Соответствующие показатели приведены в таблице:

	Выход из 1 т картофеля		Ограничения на объём
Продукт	Поставщик N 1	Поставщик N 2	выпускаемой продукции
1	0,2	0,3	1,8 т
2	0,2	0,1	1,2 т
3	0,2 т.	0,3 т.	2,4 т.
Относительная прибыль	5 усл. ед.	6 усл. Ед.

Какое количество картофеля следует купить у каждого из поставщиков?

Решение: Построим для данной задачи аналитическую модель.

Ответ на поставленный вопрос зависит от “относительной прибыли”, получаемой предприятием в случае покупки картофеля у поставщика 1 и у поставщика 2. Предприятие заинтересовано приобрести картофель так, чтобы при заданных условиях его прибыль была максимальной.

Из того факта, что относительная прибыль при закупке картофеля у поставщика 2 является более высокой, ещё не следует, что предприятию следует приобрести закупку всего требуемого картофеля у поставщика 2. При принятии решения по закупке картофеля должны учитываться, по крайней мере, два фактора:

1. максимальное количество каждого продукта, которое предприятие может продать;

2. максимальное количество каждого из продуктов, которое предприятие может изготовить при заданных условиях производства.

Учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:

1. продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1,8;

2. продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1,2;

3. продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4;

Эти ограничения математически можно сформулировать следующим образом. Пусть x₁ и x₂ означают количество картофеля, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно.

Тогда ограничения a), b), c) преобразуют в линейные неравенства

0,2x₁ + 0,3x₂ 1,8 для продукта 1.

0,2x₁ + 0,1x₂ 1,2 для продукта 2. (1)

0,3x₁ + 0,3x₂ 2,4 для продукта 3.

x₁ 0 x₂ 0

Условия неотрицательности x₁0, x₂0 приняты потому, что отрицательные значения этих величин не имели бы физического смысла. Оптимальными являются такие x₁ и x₂, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, получаем следующую аналитическую модель задачи:

найти max (5x₁ + 6x₂) при наличии ограничений

0,2x₁ + 0,3x₂ 1,8

0,2x₁ + 0,1x₂ 1,2

0,3x₁ + 0,3x₂ 2,4

x₁ 0 x₂ 0

Здесь (5x₁ + 6x₂) - целевая функция, представляющая собой прибыль предприятия.

Задание к лабораторной работе № 1

Построить математическую модель задачи, для этого:

1. выбрать показатель эффективности;

2. ввести переменные x₁,x₂,..., определяющие решение задачи;

3. записать систему ограничений;

4. записать целевую функцию.

1.Посевные пощади трёх колхозов, отводимые под свёклу и пшеницу, равны соответственно 300, 400 и 500 га. Согласно плану свёкла и пшеница должны производится в пропорции 1 : 2. Ожидаемый урожай свёклы 350, 400 и 300 ц/га, пшеницы 20, 25, 30 ц/га. Какую часть посевных площадей должен отвести каждый колхоз под пшеницу и свёклу, чтобы обеспечить максимальный суммарный урожай пшеницы и свёклы в натуральном выражении.

2.Для изготовления четырёх видов продукции (А, Б, В, Г) используется три вида сырья (1, 2, 3). Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и получаемая прибыль от единицы продукции заданы в следующей таблице:

	Нормы расхода
Сырье	А	Б	В	Г	Ресурсы
1	2	1	0,5	4	2400
2	1	5	3	0	1200
3	3	0	6	1	3000
Прибыль	7,5	3	6	12

Определить оптимальный план выпуска продукции из условия максимизации прибыли.

3.Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимым для производства любого из четырёх видов товаров. Затраты ресурсов на единицу данного вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

	Затраты ресурсов на товар
Вид ресурса	1	2	3	4	Объем ресурсов
Сырьё (кг)	3	5	2	4	60
Рабочая сила	22	14	18	30	400
Оборудование	10	14	8	16	128
Прибыль на единицу товара (руб.)	30	25	56	48

Определить оптимальный ассортимент товаров, если 1-го товара нужно выпустить не более 5 ед., 2-го не менее 8 ед., а 3-го и 4-го - в отношении 1:2.

4.Выпускаемое изделие состоит из 2-х деталей, обработка которых может быть выполнена на различных станках: фрезерных, револьверных и автоматических револьверных. Количество станков, их производительность по каждой детали в отдельности представлены в таблице:

Тип станков	Число станков	Производительность станка (дет./час)
		Деталь N 1	Деталь N 2
Фрезерный	3	10	20
Револьверный	3	20	30
Авт. Револьверный	1	30	80

Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы получать в час максимальное число изделий.

5.Авиакомпания “Небесный грузовик”, обслуживающая периферийные районы, располагает 8 самолётами типа 1, 15 самолётами типа 2, 12 самолётами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъёмность (в тоннах) известна: 230 для самолётов типа 1; 166 для самолётов типа 2; 84 для самолётов типа 3. Авиакомпания обслуживает города А и В. Городу А требуется тоннаж в 2000 т, а городу В - в 3000 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолёт в течение дня может выполнить только один рейс. Расходы, связанные с перелётом самолётов по маршруту “центральный аэродром - пункт назначения”, указаны в следующей таблице:

	Тип 1	Тип 2	Тип 3
Город А	23	5	1,4
Город В	58	10	3,8

Построить модель для определения распределения самолетов различного типа по маршрутам, обеспечивающее минимальные расходы.

6.Фирма выпускает 4 вида продукции. В процессе производства используются 3 технологические операции. В таблице представлена технологическая схема производства изделий вида 1, 2, 3 и 4 (длительность операций при изготовлении одного изделия каждого вида в минутах).

Вид продукции	Операция 1	Операция 2	Операция 3
1	5	—	1
2	3	1	2
3	4	3	—
4	3	2	4

Фонд рабочего времени, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий, ограничен следующими предельными значениями (в сутки):

Операция 1	380 мин.
Операция 2	420 мин.
Операция 3	400 мин.

Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2, 3, 4 составляет 3, 4, 5, 7 долл. соответственно. Определить наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида.

7.Кормовой рацион цыплят должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Рассмотрим в качестве корма смесь, состоящую из 3-х ингредиентов: известняк, зерно и соевые бобы. Данные, характеризующие содержание питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента, приведены в таблице:

Ингредиент	Содержание питательных веществ (в %)				Стоимость
	кальций	белок	Клетчатка	(за кг)
Известняк	0,38	—	—	0,04
Зерно	0,001	0,09	0,02	0,15
Соевые бобы	0,002	0,50	0,08	0,40

Смесь должна содержать: 1)не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;

2)не менее 22% белка; 3)не более 5% клетчатки.

Определить оптимальное содержание ингредиентов в смеси, общей массой 20кг.

8.Полицейская служба имеет следующие минимальные потребности в количестве полицейских в различное время суток:

Период	Время суток, часы	Число полицейских
1	2-6	20
2	6-10	50
3	10-14	80
4	14-18	100
5	18-22	40
6	22-2	30

Каждый полицейский работает восемь часов без перерыва. Полицейской службе необходимо составить служебное расписание на каждые сутки таким образом, чтобы обойтись минимальным числом полицейских.

(Обозначить через x_t число полицейских, ежедневно приступающих к работе в период t).

9.Фирма выпускает шляпы трех фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2 и в полтора раза ниже трудоемкости изготовления шляпы фасона 3. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп всех фасонов ограничен диапазоном от 150 до 200 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна 8 долл., фасона 2 - 5 долл., фасона 3 - 4 долл. Какое количество шляп каждого фасона следует изготовлять, чтобы максимизировать прибыль?

10.Ткацкая фабрика располагает станками трех типов, которые могут производить четыре вида тканей. Каждый тип станка может производить любой из видов тканей, но в неодинаковом количестве. Данные представлены в таблице:

Тип станка	Количество станков		Производство тканей вида (в метрах)
		1		2	3	4
1	100	100		70	86	64
2	90	92		82	104	76
3	60	120		90	90	80

Продажа тканей приносит доход:

Вид тканей	Доход
1	30
2	35
3	28
4	36

При этом необходимо произвести тканей каждого вида не менее:

Вид тканей	не менее (в метрах)
1	800
2	600
3	900
4	400

Построить математическую модель для решения задачи обеспечения максимальной прибыли производства тканей.

11.Фирма “Лесная пилорама” столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов пиломатериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. Материалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры. Чтобы получить 2,5 м³ пиломатериалов необходимо израсходовать 2,5 м³ еловых и 7,5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м² фанеры требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м³ еловых и 180 м³ пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок необходимо произвести, по крайней мере, 10 м³ пиломатериалов и 1200 м² фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составит 16 долл., а со 100 м² фанеры - 60 долл. Построить модель для решения задачи.

12.Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долл. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 долл., а каждая минута телерекламы - в 100 долл. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в 2 раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Построить модель для определения оптимального распределения финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

13.Торговая фирма имеет 4 склада для хранения и 5 пунктов реализации товаров. На складах имеются запасы товара в количествах:

Склад	1	2	3	4
Количество товара (единиц)	200	340	280	300

Пункты реализации подали заявки соответственно на 130, 450, 210, 100, 350 единиц товара. Склады связаны с пунктами реализации сетью дорог. Заданы тарифы на перевозки:

	Пункт 1	Пункт 2	Пункт 3	Пункт 4	Пункт 5
Склад 1	12	14	10	11	15
Склад 2	23	2	13	14	8
Склад 3	21	10	15	7	13
Склад 4	18	13	17	20	15

Требуется построить модель для составления оптимального плана перевозок.

14.В колхозе имеется несколько земельных участков, качественно отличающихся друг от друга. Хозяйство возделывает несколько видов культур. Необходимо определить, какую площадь каждого участка следует отвести под каждую культуру, чтобы получить запланированные объемы продукции при минимальных затратах. Данные представлены в таблице: