Лабораторные работы / LAB4

№4.Графоаналитический метод решения матричных игр

Лабораторная работа № 4

Тема: Графоаналитический метод решения матричных игр

Цель работы: Изучить упрощение матричных игр и научиться решать их графическим и аналитическим методами.

Упрощение матричных игр

Если игра mn не имеет седловой точки, то отыскание её решения, особенно при больших m и n, представляет собой довольно трудоёмкую задачу. Иногда эту задачу удаётся упростить, если предварительно “редуцировать” игру, т.е. сократить число стратегий путём вычёркивания некоторых лишних. Излишние стратегии бывают двух родов: дублирующие и заведомо невыгодные. Рассмотрим, например, игру с матрицей:

A\B	B1	B2	B3	B4
A1	1	2	4	3
A2	0	2	3	2
A3	1	2	4	3
A4	4	3	4	0

Из матрицы видно, что стратегия A₃ в точности повторяет (“дублирует”) стратегию А₁, поэтому любую из этих двух стратегий можно вычеркнуть. Далее сравнивая почленно строки А₁ и А₂, видим, что все элементы строки А₂ меньше (или равны) соответствующих элементов строки А₁. Значит стратегия А₂ для нас, желающих выиграть, заведомо невыгодна. Вычёркивая А₃ и А₂, приведём матрицу к более простому виду:

A\B	B1	B2	B3	B4
A1	1	2	4	3
A4	4	3	4	0

Далее замечаем, что для противника стратегия В₃ заведомо невыгодна; вычёркиваем и её, и матрица приведена к виду:

A\B	B1	B2	B4
A1	1	2	3
A4	4	3	0

Таким образом, игра 44 сведена к игре 23.

Иногда удаётся упростить игру искусственным введением вместо чистых стратегий смешанные. Пусть, например, имеется игра 34 с матрицей:

A\B	B1	B2	B3	B4
A1	0	5	5	2
A2	5	0	2	5
A3	5	5	1	1

Рассматривая матрицу, замечаем, что в силу симметрии элементов столбцов В₁ и В₂, В₃ и В₄, а также строк А₁ и А₂, эти стратегии, если входят в решение, то только с одинаковыми вероятностями p₁=p₂, q₁=q₂, q₃=q₄.

Отсюда возникает идея: заранее объединить стратегии В₁ и В₂ в одну смешанную стратегию В₁₂, состоящую наполовину из В₁, наполовину из В₂, так же поступать со стратегиями В₃ и В₄, то есть объединить их в одну смешанную стратегию В₃₄, в которую В₃ и В₄ входят с одинаковыми вероятностями. Приводим матрицу к виду:

A\B	B12	B34
A1	2,5	3,5
A2	2,5	3,5
A3	5	1

Теперь видно, что если противник пользуется стратегиями В₁₂, В₃₄, стратегии А₁ и А₂ дублируют друг друга, вычёркивая какую-либо из них (или объединяя А₁ и А₂ в одну А₁₂), приводим матрицу к виду 22:

A\B	B12	B34
A12	2,5	3,5
A3	5	1

Таким образом, игра 34 сведена к игре 22.

Приступая к решению любой игры mn, необходимо прежде всего выполнить следующие процедуры:

- просмотреть, нет ли в матрице седловой точки: если есть, решение уже найдено,

- если седловой точки нет, сравнить между собой почленно столбцы и строки с целью вычёркивания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий,

- посмотреть, нельзя ли уменьшить число стратегий путём замены некоторых групп чистых стратегий смешанными.

Графоаналитический метод решения матричных игр

Аналитический метод решения игры 22

Наиболее простым случаем конечной игры является игра 22, где у каждого игрока две стратегии. Рассмотрим игру 22 с матрицей:

A\B	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Здесь могут встретиться два случая:

1. игра имеет седловую точку,

2. игра не имеет седловой точки.

В первом случае решение очевидно: это-пара стратегий, пересекающихся в седловой точке. Нетрудно доказать, что если игра 22 имеет седловую точку, то в этой игре всегда какая-нибудь из стратегий может быть отброшена как заведомо невыгодная или дублирующая.

Рассмотрим второй случай: предположим, что в матрице 22 седловой точки нет. При этом нижняя цена игры не равна верхней: . Решение должно быть в смешанных стратегиях. Найдём это решение, т.е. пару оптимальных смешанных стратегий: и .

Сначала определим оптимальную смешанную стратегию S^*_A. Согласно теореме об активных стратегиях, если мы будем придерживаться этой стратегии, то, независимо от образа действий противника если он только не выходит за пределы своих активных стратегий выигрыш будет оставаться равным цене игры v. В игре 22 обе стратегии противника являются активными, иначе игра имела бы седловую точку. Значит, если мы придерживаемся своей оптимальной стратегии , то противник может, не меняя выигрыша, применять любую из своих чистых стратегий.

Отсюда имеем два уравнения:

(4.1)

из которых, принимая во внимание условие p₁+p₂ =1, получим:

Цену игры v найдём, подставляя значения p в любое из уравнений (4.1):

Аналогично находится и оптимальная стратегия противника, , из уравнения

откуда

.

Графический метод решения матричных игр

1)Игры 22.

Пусть имеется некоторая игра 22 с матрицей:

A\B	B1	B2
A1
A2

Обозначим ₁- среднеожидаемый выигрыш, полученный стороной А при использовании его произвольно взятой смешанной стратегией S_A=(p₁, p₂) против чистой стратегии В₁ стороны В. Известно, что , так как p₂=1-p₁;

₂ - среднеожидаемый выигрыш стороны А при использовании S_A против В₂, тогда .

В силу того, что сторона В также будет применять смешанные стратегии, то А может расчитывать лишь на выигрыш . Если заданы, то есть функция от p₁, и её значения совпадают либо с ₁ (при ₁ < ₂), либо с ₂ (при _{1 2}).

Следовательно, можно построить график . На рис.1 показан жирной линией.

Естественно, сторону А должно интересовать по значению p₁, при котором достигает максимума. Очевидно, оно определяется равенством ₁=₂ или .

Итак, геометрический способ решения игр 22 заключается в построении прямых ₁(p₁), ₂(p₂) по двум точкам и с последующей оценкой координат точки пересечения, что позволяет найти и .

Для игрока В оптимальная стратегия определяется в принципе так же, но в построениях участвуют точки и , а вместо рассматривается , где , , и ищется то значение q₁, при котором имеет наименьшее значение. (см. рис.2)

2)Игры 2n и m2.

Исследование игр 22 позволяет разработать простые и наглядные методы поиска решений в более сложных играх, таких, например, когда одна из сторон имеет в своём распоряжении только две стратегии, а другая - произвольное (конечное) число стратегий (m или n).

Пусть дана игра 2n (см. таблицу), не имеющая седловых точек.

A\B	B1	B2	...	Bn
A1			...
A2			...

Аналогично случаю 22 дадим геометрическую интерпретацию, n стратегий противника изобразим прямыми ₁=(a₁₁-a₂₁)p₁+a₂₁; ₂=(a₁₂-a₂₂)p₁+a₂₂; ...; _n=(a_1n-a_2n)p₁+a_2n. Тогда (на Рис. 3 показан жирной линией). Максимальное достигается в точке , которую легко найти на рассматриваемом графике.

Результат решения не изменится, если в рассмотрение брать только прямые , которые пересекаются в точке и, следовательно, указывают стратегии B_j, входящие в с вероятностями . Остальные чистые стратегии i строки В не представляют интереса как заведомо невыгодные (для них всегда , и необходимо положить ).

Можно доказать, что у любой конечной игры mn существует решение, в котором число активных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чисел m и n. Из этого, в частности, следует, что у игры 2n всегда имеется решение, в котором с каждой стороны участвуют не более двух активных стратегий . Иначе говоря, можно свести игру 2n к игре 22.

Общая схема поиска :

• по данным платёжной матрицы вычерчивается график функции и на нём отыскивается экстремальная точка ;

• выбираются две прямые пересекающиеся в этой точке таким образом, чтобы точка пересечения не теряла экстремальных свойств (берутся прямые с противоположным наклоном);

• отвечающие им стратегии B⁽¹⁾, B⁽²⁾ включаются в игру против A₁ и A₂;

• полученная игра 22 решается либо с помощью формул, либо графическим способом.

Очевидно, так же может быть решена и игра m2, с той разницей, что придётся строить прямые и по ним определить как точную верхнюю границу значений _i и на ней ищется не максимум, а минимум (см. рис.4) .

Пример. Дана игра 52 (см. табл.), не имеющая седловых точек. Требуется найти оптимальные стратегии сторон.

A\B	B1	B2
A1	1.5	-1.5
A2	2	0
A3	-1	2.5
A4	3.5	-3
A5	1	2

Решение: Строим прямые, определяемые уравнениями , т.е. ₁=3q₁-1.5;

₂=2q₁;

₃=-3.5q₁+2.5;

₄=6.5q₁-3;

₅=-q₁+2. (см. рис.5)

Рис.5

Экстремальная точка графика функции (показан жирной линией) имеет координаты q^*₁0.67; 1.3, и через нее проходят прямые ₂, ₄, ₅. Следовательно, сторона А имеет, вообще говоря, три активные стратегии А₂, А₄, А₅, из которых можно выбрать две, например, А₂ и А₅ или А₄ и А₅ . Выбор А₂ и А₄ исключен, т.к. точка (0.67;1.3) перестает быть экстремальной.

Пусть выбираются стратегии А₂ и А₅. Тогда игра 22 приобретает вид:

2	0
1	2

и для нее по формулам вычисляются p^*₁=1/3, p^*₂=2/3, q^*₁=2/3 q^*₂=1/3, =4/3.

Если выбираются стратегии А₄ и А₅, то игра 22 приобретает вид:

3.5	-3
1	2

Здесь формулы приводят к результатам p^*₁=2/15, p^*₂=13/15, q^*₁=2/3 q^*₂=1/3, =4/3.

Таким образом, оптимальными стратегиями сторон являются либо S^*_A={0,1/3,0,0,2/3}; S^*_B={2/3,1/3} либо S^*_A={0,0,0,2/15,13/15}; S^*_B={2/3,1/3}, при одном и том же значении =4/3.

Задание к лабораторной работе № 4

1)Упростить игру

1.	2.		3.		4.
5.	6.		7.		8.
9.	10.		11.
12.	13.		14.
15..	16.		17.
18.				19.
20.				21.
22.		23.		24.

2)Решить игру графически и аналитически.

1..	2.	3.		4.		5.	6.
7.	8.	9.		10.		11.	12.
13.	14.				16.
	15.				17.
18.			19.
20.			21.
22.			23.
24.

7