Лабораторные работы / LAB8

№8.Одноканальная и многоканальная СМО с отказами

Лабораторная работа № 8

Тема: Одноканальная и многоканальная СМО с отказами

Цель работы: Ознакомиться с основными характеристиками СМО с отказами и научиться решать связанные с ними задачи.

Одноканальная СМО с отказами

Рассмотрим задачу анализа характеристик СМО при следующих допущениях:

1. Система имеет один канал обслуживания;

2. Поток заявок - простейший, т.е. обладающий одновременно свойствами стационарности, ординарности, отсутствия последействия, с интенсивностью ;

3. Время обслуживания Т есть случайная величина, распределённая по показательному закону с параметром :

f(t) = e^-t t0;

4. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её (получает отказ).

Требуется найти:

1. А - абсолютную пропускную способность СМО, то есть среднее число заявок, которое может обслуживать система за единицу времени;

2. q - относительную пропускную способность СМО, то есть отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок;

3. P_отк- вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, получит отказ.

Пусть состояние рассматриваемой СМО характеризуется занятостью единственного канала, так что при любом t > 0 система оказывается либо в состоянии S₀ (канал свободен), либо в состоянии S₁ (канал занят). Переход из S₁ в S₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом её обслуживания (см. Рис.1).

Обозначим вероятности состояний p₀(t) и p₁(t). Для любого момента t

(8.1)

где p₀(t) - вероятность того, что канал свободен, p₁(t) - занят.

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

(8.2)

Для решения системы в первое уравнение подставим вместо p₁ его выражение 1 - p₀:

Это уравнение естественно решать при начальных условиях p₀(0)=1, p₁(0)=0 (в начальный момент канал свободен). Напишем решение дифференциального уравнения для случая =const

(8.3)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность p₀ есть не что иное, как относительная пропускная способность q.

Действительно, p₀ есть вероятность того, что в момент t канал свободен, то есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно p₀: q = p₀.

В пределе, при t, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

(8.4)

Зная q, легко найти абсолютную пропускную способность А. Они связаны очевидным соотношением:

В пределе, при t

(8.5)

Зная q, легко найти вероятность отказа:

Вероятность отказа P_отк есть вероятность того, что канал занят, т.е p₁(t). В пределе, при t

Пример 1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка - вызов, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов =0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора мин. Все потоки событий - простейшие. Определить предельные (при t) значения:

1. относительную пропускную способность q;

2. абсолютную пропускную способность А;

3. вероятность отказа P_отк.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый разговор длился в точности 1,5мин., а разговоры следовали один за другим без перерыва.

Решение. Определим параметр потока обслуживаний:

По формуле (8.4) получаем относительную пропускную способность СМО:

Таким образом, в установившемся режиме система будет обслуживать около 45% поступающих вызовов.

По формуле (8.5) находим абсолютную пропускную способность:

То есть линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту. Вероятность отказа:

значит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ.

Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами. Пусть выполнены условия:

1. поток заявок - простейший с интенсивностью ;

2. время обслуживания распределено по показательному закону с параметром (интенсивность освобождений каждого канала СМО);

3. система имеет n каналов обслуживания (n2);

4. заявка, заставшая все каналы занятыми, покидает систему (СМО с отказами).

Требуется найти основные характеристики рассматриваемой СМО и оценить приемлемость тех или иных числовых значений исследуемых показателей.

Обозначим состояния системы:

S₀ - все каналы свободны,

S₁ - занят ровно один канал, остальные свободны,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_n - заняты все n каналов.

Переходы между состояниями осуществляются по схеме:

Составим уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются

p₀(0)=1, p₁(0)=p₂(0)=...=p_n(0)=0.

Проведя некоторые преобразования и обозначив , где - величина которая является приведённой интенсивностью потока заявок, получим окончательную формулу для нахождения вероятностей:

(8.6)

Формулы (8.6) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметров и n ( - интенсивность потока заявок, - интенсивность обслуживания, n - число каналов СМО).

Зная все вероятности состояний p₀,p₁,...,p_k,...,p_n, можно найти характеристики эффективности СМО.

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна

Для вероятности отказа легко вывести рекуррентную формулу в зависимости от числа приборов:

,

которая позволяет вычислить минимальное количество каналов, обеспечивающее заданную вероятность отказа.

Относительная пропускная способность:

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов - .

Абсолютная пропускная способность:

Выразим через абсолютную пропускную способность А, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени заявок; среднее число занятых каналов получается делением А на :

или

.

Пример 2. Повторяются условия предыдущего примера =0,8; =0,667, однако вместо одноканальной СМО (n=1) рассматривается трёхканальная (n=3), то есть число линий связи увеличено до трёх. Найти вероятность состояний, абсолютную и относительную пропускную способности, вероятность отказа и среднее число занятых каналов.

Решение. Приведённая интенсивность потока заявок:

По формулам Эрланга (8.6) получаем:

Вычисляем вероятность отказа:

Относительная и абсолютная пропускные способности равны:

Среднее число занятых каналов:

то есть при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занят один с небольшим канал из трёх - остальные два будут простаивать. Этой ценой добивается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания - около 91% всех поступающих вызовов будет обслужено.

Задание к лабораторной работе № 8

1.1.Одноканальная СМО с отказами представляет собой телефонный заказ такси. Заявка, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов =0.7 (0.9) {вызовов в минуту}. Средняя продолжительность вызова такси =2.5 (2.3) мин. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

1.2.СМО имеет три (два) канала при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система , чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.1. (В каких пределах должна быть интенсивность потока вызовов, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)

2.1.Одноканальная СМО с отказами представляет собой стол заказов промышленных изделий. Если заказчик приходит в момент, когда на обслуживание уже подана заявка, то он получает отказ. Интенсивность поступления заказов =1.2(1.1) (в час). Средняя продолжительность обслуживания =5(3.5) часов. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

2.2.Рассмотреть СМО с двумя (тремя) столами заказов при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Как изменить время обслуживания заказчиков, чтобы вероятность отказа стала меньше, чем 0.3. (Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)

3.1.СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов =0.9(1.1) в мин. Средняя продолжительность разговора =3.2 (2.2)мин. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

3.2.Рассмотреть СМО с тремя (двумя) телефонными линиями при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система , чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.05. (Какой должна быть интенсивность поступления заявок, чтобы вероятность отказа была равна 0.1)

4.1.Бензоколонка имеет одну заправку бензином А-76. Если машина подъезжает в момент, когда система занята, то она получает отказ. Интенсивность потока заявок =0.8 (0.3) в минуту. Средняя продолжительность заправки машины =2.7 (10.9)мин. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

4.2.Рассмотреть СМО с теми же и , но имеющую два (три) канала.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Как изменить время обслуживания заказчиков, чтобы вероятность отказа стала меньше, чем 0.1. (Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.05.)

5.1.Автобусный парк имеет одну линию для мойки автобусов. Автобус, пришедший, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность прибытия автобусов =0.25(0.12) в минуту. Средняя продолжительность мойки автобусов =15.7(12.2) минут. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

5.2.Автобусный парк имеет три (две) линии для мытья автобусов при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система , чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.1. (В каких пределах должна быть интенсивность потока вызовов, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)

6.1.Часовой мастер осуществляет ремонт часов в присутствии владельца. Интенсивность поступления заказов равна =0.73 (0.63) в час. Среднее время ремонта одних часов =2.2 (1.9) Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

6.2.Часовая мастерская имеет трех (двух) мастеров той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество мастеров необходимо иметь в мастерской, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.01. (Насколько нужно сократить время ремонта, чтобы вероятность отказа стала меньше чем 0.1).

7.1.Срочный ремонт обуви осуществляется в присутствии заказчика. Интенсивность поступления заказов =2.4 (1.4) в час. Среднее время ремонта =0.9(2.3) Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк., если в мастерской работает один мастер.

7.2.Мастерская имеет двух (трех) мастеров по срочному ремонту обуви при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)При какой интенсивности потока заказов вероятность отказа не превосходит 0.1? (Какое количество мастеров необходимо мастерской, что бы вероятность отказа стала меньше чем 0.05?).

8.1.На станции технического обслуживания имеется одна линия для ремонта машин марки “Жигули”. Интенсивность поступления машин на станцию =0.38 (0.43) в день. Средняя продолжительность ремонта =3.3(5.3). Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

8.2.Рассмотреть СМО с двумя (тремя) линиями обслуживания при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Как изменить время обслуживания заказчиков, чтобы вероятность отказа стала меньше, чем 0.1. (Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.01.)

9.1.Газозаправочная станция имеет одну колонку для заправки сжиженным газом. Интенсивность потока заявок =0.13(0.1) в мин. Продолжительность заправки =9.3 (8.8) минут. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

9.2.Газозаправочная станция имеет три (две) колонки при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.01. (В каких пределах должна быть интенсивность потока вызовов, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)

10.1.В службе быта имеется один специалист по гравировке по металлу, который выполняет заказ сразу при поступлении. Интенсивность поступления заказов =0.09 в минуту. Время выполнения 11(9.5)минут. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

10.2.В службе быта имеются два (три) специалиста по гравировке при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Как изменить время обслуживания заказчиков, чтобы вероятность отказа стала меньше, чем 0.1. (Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.01.)

11.1.Ателье имеет одного мастера по пошиву верхней одежды. Интенсивность поступления заказов =1.1 (0.8) в неделю. Время пошива одного изделия =2.4(1.87) Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

11.2.Ателье имеет трех (двух) мастеров по пошиву верхней одежды при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество портных необходимо иметь в ателье, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.3. (Насколько нужно сократить время пошива одного изделия, чтобы вероятность отказа стала меньше чем 0.1)

12.1.Прибору для обнаружения и исследования радиоактивных излучений необходимо в среднем 1.2 (2.2) наносекунд на идентификацию частицы. Интенсивность излучения равна 0.58 (0.75) частиц в наносекунду. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

12.2.Считаем, что прибор имеет два (три) устройства для улавливания частиц при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)При какой интенсивности излучения вероятность зарегистрировать частицу равна 0.95. (Какое количество устройств должно быть в приборе, чтобы вероятность учета частиц была выше, чем 0.99)

13.1.На железнодорожную сортировочную горку составы прибывают с интенсивностью =0.2(0.32) состава в час. Среднее время обслуживания состава =6.4(6.9) часа. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

13.2.Железнодорожная станция имеет три (две) сортировочные горки при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.01. (Какой должна быть интенсивность поступления заявок, чтобы вероятность отказа была равна 0.1)

5