Контрольные вопросы

1. Определение абсолютной и относительной погрешности.

2. Основные правила вычисления абслютной и относительной погрешностей.

Практическая работа № 8

Тема: «Приближенное решение уравнений. Погрешности приближенных значений чисел»

Основные вопросы: Постановка задачи. Корень уравнения. Отрезок изоляции корня. Отделение корней: графический способ, аналитический способ. Метод половинного деления при решении нелинейных уравнений. Критерий остановки метода.

Краткие теоретические сведения:

Пусть задана функция f(x) на - конечная или бесконечная, непрерывна.

Рассмотрим уравнение f(x) = 0 (1)

Определение 1. Число называется корнем уравнения (1), если , - ноль функции f(х).

Будем считать только действительные корни.

Определение 2. Корень уравнения (1) называется изолированным, если принадлежит отрезку в котором лежит корень , но в котором нет других корней уравнения (1). Отрезок - промежуток изоляции корня, - приближенный корень, - абсолютная погрешность абсолютного корня.

При решении уравнения (1) нужно знать приближенный корень с заданным приближением .

степень точности, - приближенный корень с точностью , если выполняется

Определение 3. Корень - называется простым корнем, если

Будем рассматривать действительные, изолированные и простые корни уравнения (1)

Рисунок 14

Вычисление корней

1. Нахождение промежутков изоляции всех корней уравнения (1).

2. Этап уточнения приближенного корня до нужной степени точности.

Рассмотрим первый этап:

Пусть функция f(x) задана на и удовлетворяет условиям:

-непрерывна;

-на концах принимает разные знаки ,

тогда на уравнение (1) имеет по крайней мере один корень .

Рисунок 15

Теорема 2: Пусть f(x) на удовлетворяет условие:

1. f(x)– непрерывна и дифференцируема;

2. ;

3. сохраняет знак , т.е. для любого возрастает (убывает), тогда промежуток изоляции корня .

Так мы выяснили область расположения всех решений уравнения (1).

Область расположения всех решений можем найти графическим способом.

Пусть найден отрезок [a; b], где f(a) f(b)<0, который содержит только один корень уравнения (1). Этот неизвестный корень обозначим буквой . На II этапе по заданному числу  > 0 требуется на отрезке [a; b] найти приближенный корень с точностью . Корень будем искать итерационными методами.

Метод половинного деления

Метод половинного деления состоит в повторении (итерировании) следующей процедуры:

1. вычисление точки , соответствующей середине отрезка [a; b];

2. вычисление значения функции f(c);

3. переход к отрезку удовлетворяющему всем свойствам отрезка [a; b], но вдвое меньшей длины.

В результате получаем последовательность {c_n} середин отрезков [a_n; b_n], длина которых неограниченно уменьшается.

«Правило останова»: вычисления прекращаются, когда впервые либо f(c_n)=0, либо , из последнего определяется число разбиений отрезка . Искомый приближенный корень .

Примеры решения задач

Пример 1. Определить корни уравнения .

Рисунок 16

Построив схематично графики функций и , убеждаемся, что они имеют три точки пересечения, абсциссы которых принадлежат отрезку [-1;6]. Следовательно, уравнение имеет три корня и эти корни принадлежат отрезку [-1;6].

Для отделения корней составим таблицу

х	-1	0	1	2	3	4	5	6
Знак f(x)	+	-	-	+	+	+	+	–

Следовательно, промежутки изоляции корней: [-1;0],[1;2] и [5;6].

Методом половинного деления уточнить промежуток изоляции [1;2] корня уравнения с точностью до 0,01. Точкой делим отрезок [1;2] на два [1;1,5] и [1,5;2] и устанавливаем знак . Значение . Так как , ,то [1,5;2] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: . Снова находим и рассматриваем отрезки [1,5;1,75] и [1,75;2].

Так как , ,то [1,5;1,75] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: .Сделаем еще один шаг и рассматриваем отрезки [1,5;1,625] и [1,625;1,75]. Так как , ,то [1,5;1,625] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: . Сделаем еще один шаг и рассматриваем отрезки [1,5;1,5625] и [1,5625;1,625]. Так как , ,то [1,5625;1,625] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: . Сделаем еще один шаг и рассматриваем отрезки [1,5625;1,59375] и [1,59375;1,625]. Так как , , то [1,5625;1,59375] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: . Сделаем еще один шаг и рассматриваем отрезки [1,5625;1,5781] и [1,5781;1,59375]. Так как , , то [1,5781;1,59375] – промежуток изоляции корня . Проверяем критерий остановки: , то вычисления можно остановить. В качестве грубого приближения корня можно взять:

.

Ответ: [1;2], .

_{Порядок выполнения работы}

1. _{Методом половинного деления уточнить корни уравнения} на промежутках : [-1;0] и [5;6] с точностью до 0,01.