Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Данный метод используется чаще остальных при решении практических задач. Общая итерационная формула метода имеет вид
yi=
,
где
Абсолютная погрешность находится с помощью равенства
|
-y(xi)|
|
-
yi|,
i=1,2,…,n
Примеры решения задач
Методом
Эйлера проинтегрировать задачу Коши
на отрезке
с шагом
и шагом
.
Оценить погрешность
,
Решение:
В точках
,
значение искомой интегральной кривой
вычисляются по формулам:
При
пересчете значений интегральной кривой
с удвоенным шагом воспользуемся уже
вычисленными значениями
Результаты вычислений приводятся в следующей таблице:
k |
|
(2) |
|
|
(5) |
|
0 |
0,1 |
1,25 |
2,29048 |
0,11452 |
1,25 |
0,22904 |
1 |
0,15 |
1,36452 |
2,41932 |
0,12096 |
|
|
2 |
0,2 |
1,48548 |
2,55043 |
0,12752 |
1,47904 |
0,25504 |
3 |
0,25 |
1,613 |
2,68378 |
0,13418 |
|
|
4 |
0,3 |
1,74718 |
2,81928 |
0,14096 |
1,73408 |
0,28192 |
5 |
0,35 |
1,88814 |
2,95692 |
0,14784 |
|
|
6 |
0,4 |
2,03598 |
3,09665 |
0,15483 |
2,016 |
0,30966 |
(1)
(3)
(4)
(6)
Ответ:
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,35 |
0,4 |
1,25 |
1,36 |
1,49 |
1,61 |
1,75 |
1,89 |
2,04 |
Пример
2. Решить дифференциальное уравнение
с начальными условиями у(0)=0 на интервале
[0; 0,5]методом Эйлера-Коши.
Решение. Исходя из начальных значений x0=0, y0=0, рассчитаем значение y1 в узле x1=0,1 по формулам:
Аналогично
получим решение в остальных узлах.
Продолжим вычисления и, введя обозначение
,
получаемые результаты занесем в таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 |
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 |
0,000000000 0,000000000 0,003035327 0,009813786 0,023408346 0,047024301 |
0,00000 1,510025E-003 7,157661E-003 1,941224E-002 4,133581E-002 |
0,000500000 0,002535327 0,006778459 0,013594561 0,023615954 |
0,000000000 0,000334672 0,002710036 0,009336250 0,022793219 0,046302490 |
0,000000000 0,1653E-03 0,3253E-03 0,4775E-03 0,6151E-03 0,7218E-03 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,00000
0,00000 |
0,100000
0,000500 |
0,2000000
0,0030353 |
0,300000
0,0098138 |
0,400000
0,023408 |
0,500000
0,047024 |
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение с начальными условиями у(0)=0 на интервале [0; 0,5]методом Рунге – Кутты четвертого порядка.
Решение. Вычислим значения вспомогательных величин:
Найдем приращение функции на первом интервале
и значение функции в первом узле
Аналогично получим решение в остальных узлах, результат занесем в таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
0/1 0/2 0/3 0/4 |
0,0 0,05 0,05 1 |
0,0000000 0,0000000 0,0001250 0,00025125 |
0,000000000 0,000250000 0,000251252 0,001005031 |
0,000334589 |
0,005006 |
0,000000 |
0,000000000
|
1/1 1/2 1/3 1/4 |
0,1 0,15 0,15 0,2 |
0,000334589 0,000837941 0,001472193 0,002628972 |
0,001006703 0,002275208 0,002294383 0,004105850
|
0,002375289 |
0,015116 |
0,00033467 |
0,8301E-07 |
2/1 2/2 2/3 2/4 |
0,2 0,25 0,25 0,3 |
0,002709878 0,004764443 0,005955124 0,009261181 |
0,004109129 0,006490492 0,006551303 0,009564248 |
0,006626161 |
0,025535 |
0,002710036 |
0,1573E-06 |
3/1 3/2 3/3 ¾ |
0,3 0,35 0,35 0,4 |
0,009336039 0,014120479 0,015965225 0,022729094 |
0,009568879 0,013258372 0,013393055 0,017869989 |
0,013456954 |
0,036504 |
0,009336250 |
0,2103E-06 |
4/1 4/2 4/3 4/4 |
0,4 0,45 0,45 0,5 |
0,022792993 0,031730689 0,034396216 0,046256962 |
0,017875391 0,023206446 0,023463969 0,029839667 |
0,023509315 |
0,048306 |
0,022793219 |
0,2259E-06 |
5 |
0,5 |
0,046302308 |
|
|
|
0,046302490 |
0,1823E-06 |
Решение задачи является табличная функция – таблица 4.8 (оставлены 7 значимых цифр в каждом числе).
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,00000
0,00000 |
0,10000
0,000334589 |
0,200000
0,002709878 |
0,300000
0,009336039 |
0,400000
0,02279299 |
0,500000
0,04630231 |
Порядок
выполнения работы:
Дано
дифференциальное уравнение
с
начальным условием
.
Приняв шаг интегрирования h
= 0,1 , выполнить две итерации с помощью:
метода Эйлера;
исправленного метола Эйлера;
метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности;
сравнить результаты, полученные в точке х = 0,2 , с точным решением (найти его самостоятельно), определить абсолютную и относительную погрешности каждого метода.