Контрольные вопросы

1. Как ставится задача построения интерполяционного сплайнатретьего порядка?

2. Как определяется степень сплайна?

3. Как обосновывается существование и единственность многочлена наилучшего приближения?

4. Как определить параметры интерполяционного сплайнатретьего порядка?

Практическое занятие № 14

Тема: «Линейное интерполирование»

Основные вопровы:Табличная функция. Задача интерполирования табличной функции. Теорема о единственности задачи полиноминального интерполирования. Конечные разности таблиц. Формула линейного интерполирования и способы оценки ее погрешности. Обратное линейное интерполирование.

Краткие теоретические сведения: Пусть имеется таблица значений функции f с постоянным шагом h > 0 и требуется по табличным данным найти f(х) при х, не совпадающем с табличным аргументами. Для этого обозначим через х₀, х₁,( х₀<х₁) два соседних табличных аргумента, между которыми находится х, через у₀, у₁ – соответствующие табличные значения, и из первой интерполяционной формулы Ньютона при n=1 получим

Это и есть формула линейного интерполирования.

Пусть вторая производная функции f непрерывна на . Тогда абсолютные погрешности приближений к значениям f(х) можно находить с помощью оценочной функции V₁:

или , где и .

В случае линейной интерполяции удобно пользоваться общей оценкой погрешностей для всех . Учитывая, что при , а также равенство

, для абсолютной погрешности функции на получим формулу

.

Следовательно,

.

При оценке погрешностей линейной интерполяции можно избавиться от вычисления и поиска числа М₂. Для этого установим связь между и конечной разностью второго порядка. Учитывая, что производная непрерывная, то по теореме Лагранжа имеем

, где . Далее с помощью этой теоремы найдем выражение для второй разности через

,

где число .

В силу непрерывности на при малом шаге h с большей степенью точности можно считать, что для всех . Отсюда вытекает, что

или ,

а также . Полученные соотношения позволяют применять достаточно хорошую приближенную оценку:

.

Данная оценка позволяет вывести правило определения верных цифр непосредственно по таблице конечных разностей. Пусть к – номер разряда десятичной записи числа . Если разряд в целой части числа, то к>0, если в дробной, то к< 0. Цифра в к-м разряде верная, если .Это условие можно считать выполненным, как только окажется . Отсюда следует правило.

Правило. Если на каком-либо участке таблицы модули конечных разностей второго порядка имеют в к-м разряде не более четырех единиц, то у приближенных значений функции f, найденных с помощью линейного интерполирования для х из этого участка, цифры к-го разряда будут верными.

На практике часто приходится решать задачу: дано какое-то значение у функции f, не равное табличным значениям у_i, и необходимо найти соответствующий аргумент х. То есть нужно вычислить значение обратной по отношению к у=f(х) функции, обозначим ее .

Формула обратного линейного интерполирования

Для вычисления с ее помощью при заданном у выбираются два соседних табличных значения функции f, между которыми находится у, и предыдущее значение принимается за у₀, а последующее – за у₁.

Остаточный член формулы выглядит следующим образом:

,

где , у находится между у₀ и у₁.

Общая оценка погрешности формулы для всех у, находящихся между у₀ и у₁, обеспечивается неравенством

Примеры решения задач

1. Вычислить значение с помощью линейной интерполяции.

Решение. Возьмем х₀=1,1, х₁=1,2. Тогда у₀=0,891, у₁=0,9333, . Шаг таблицы h=0,1. Для определения точности воспользуемся всеми тремя полученными оценками. Цифры табличных значений функции будем считать верными.

Таблица 1

х
1,0	0,841	0,050	-0,008
1,1	0,891	0,042	-0,011
1,2	0,933	0,031
1,3	0,964

Поскольку для всех , берем М₂=0,94.

.

Так как , следовательно

.

При х=1,11 будет t=0,1, поэтому .

Найдем искомые приближения:

.

Без учета вычислительных погрешностей числа а имеет верные цифры 8, 9 и 5.

Порядок выполнения работы

1. Найдите приближения и линейным интерполированием и исследуйте погрешность.

2. По таблице 1 обратным линейным интерполированием найдите и определите верные значащие цифры полученного приближенного значения.