СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие	4
Практические занятия	5
Контрольные работы
Итоговый тест
Глоссарий
Приложение

Предисловие

Данные методические рекомендации предназначены для подготовки магистров по направлению 110800 Агроинженерия.

В современной науке и технике математические методы исследования и проектирования играют все большую роль. Общий курс математики является фундаментом инженерного образования. Внедрение вычислительной техники существенно расширяет возможности применения математики при решении конкретных задач. Темпы развития науки и техники делают невозможной подготовку специалистов, имеющих готовые рецепты для решения всех задач, с которыми им придется сталкиваться. В соответствии с ФГОС ВПО, область профессиональной деятельности магистров включает в себя эффективное использование и сервисное обслуживание сельскохозяйственной техники, машин и оборудования, средств электрификации и автоматизации технологических процессов при производстве, хранении и переработке продукции растениеводства и животноводства; разработку технических средств для технологической модернизации сельскохозяйственного производства.

Поэтому математическое образование инженера должно быть широким, общим, то есть мало специализированным, достаточно фундаментальным, иметь четко выраженную прикладную направленность, быть в известной мере индивидуализированным.

Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

Предметом изучения прикладной математики являются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Главная особенность ее, как указывалось выше, состоит в том, что она является важнейшей составляющей фундаментальной подготовки инженера. При этом математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

К каждому практическому занятию приведены основные теоретические сведения, решение типовых примеров и задач, задачи для самостоятельного решения с ответами. По каждому разделу предусмотрены зачетные работы в форме контрольной работы.

Практические занятия Практическое занятие № 1

Тема: Понятие ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье.

Основные вопросы: Периодические функции. Периодические процессы. Постановка задачи и определение ряда Фурье. Коэффициенты Фурье. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле.

Краткие теоретические сведения: При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Определение 1: Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

₍₁₎

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

В отличии от степенного ряда в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1, х, х²,…, хⁿ,… взяты тригонометрические функции

(2)

которые тоже хорошо изучены.

Система функций (2) называется основной тригонометрической системой. Любая частичная сумма ряда (1) 2π – периодична. Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на отрезке [-π; π], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности частичных сумм, является периодической функцией с периодом Т=2π. По этой причине тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодически функций, описывающих различные периодические процессы. Например процессы колебательных и вращательных движений различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.

Функция (2) обладает еще свойством ортогональности на отрезке [-π; π]:

_Далее:

, при k≠n.

Если k=n, то

_{Аналогично находим}

Наконец

Так как

при k≠n.

Если k=n, то .

Для тригонометрического ряда, как и для степенного ряда, можно установить условия разложения функций.

Теорема 1. Пусть 2π периодическая функция f(x) интегрируема на отрезке [-π; π]. Тогда, если на отрезке [-π; π] функция f(x) раскладывается в тригонометрический ряд

, (3)

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам:

, , . (4)

Определение 2. Пусть f(x) – 2π-периодическая функция, интегрируемая на отрезке [-π; π]. Тогда числа а_n, b_n – называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд - рядом Фурье функции f(x).

Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции.

Теорема 2. Пусть 2π-периодическая функция f(x) и ее производная - непрерывные функции на отрезке [-π; π] или же имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причем его сумма S(x)=f(x), если х – точка непрерывности функции f(x). Если х₀ – точка разрыва f(x), то

,

где

.

Примеры решения задач

Пример1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f(х), заданную на отрезке [-π ; π].

.

Решение: Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье.

По формулам (4) находим

.

Разложение для данной функции будет

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва . В точках сумма ряда равна .•

Если функция f(x) 2π-периодичная, то при вычислении ее коэффициентов Фурье интегрирование можно выполнять по любому отрезку длиной 2π, например, на промежутке [0; 2π].

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом Т = 2π на промежутке [0; 2π].

Решение: график функции изображен на рисунке

Рисунок 1

Эта функция на отрезке задается формулами: , и , . В то же время на гораздо проще она задается одной формулой . Поэтому, интегрируя по отрезку , получаем:

. Следовательно,

_{Этот ряд дает задает функцию во всех точках, кроме точек разрыва} .

В этих точках сумма ряда равна:

Порядок выполнения работы

1. Разложить в ряд Фурье функцию: ,

и построить график суммы ряда Фурье.

2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π ; π]

.

3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х) = 2х+3, заданную на отрезке [-π ; π]

4. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π ; π]

.

Ответы: 1) .

2) . 3) .

4)