14.3.2 Размерность объекта и электроны проводимости

Мы привыкли изучать трехмерные электронные системы макроскопических раз­меров. В этом случае электроны проводимости делокализованы и свободно дви­жутся по всей проводящей среде, такой как медная проволока. Ясно, что все раз­меры проволоки много больше расстояний между атомами. При уменьшении од­ного или нескольких размеров медного образца до величин, всего лишь в несколько раз превышающих расстояния между атомами, положение дел карди­нально меняется: делокализация становится невозможной, и электроны остаются локализованными. Рассмотрим, например, плоский лист меди длиной 10 см, ши­риной 10 см и толщиной 3,6 нм, которая соответствует 10 элементарным ячейкам. 20% атомов в таком листе находятся в элементарных ячейках, расположенных на поверхности. Электроны проводимости будут делокализованы в плоскости листа, но будут локализованы по меньшему измерению. Такой объект называется кванто­вой ямой. Квантовая проволока — это структура типа медного провода — длинная в одном направлении, но с диаметром, составляющим нанометры. Электроны де­локализованы и свободно движутся вдоль проволоки, но оказываются локализо­ванными в поперечных направлениях. И, наконец, в квантовой точке, которая мо­жет выглядеть как крошечный куб, короткий цилиндр или шар с размерами в не­сколько нанометров, электроны локализованы по всем трем пространственным направлениям, так что делокализации вообще не происходит. Итоговая информа­ция обо всех этих случаях представлена на рис. 14.1 и 14.2, а также в Таблице 14.3.

Т аблица 14.3. Размерности локализации и делокализации в квантовых структурах

Квантовая структура	Размерности делокализации	Размерности локализации
Объемный проводник Квантовая яма Квантовая проволока Квантовая точка	3(х, у, z) 2(x,y) 1(z) 0	0 1(z) 2(х, у) 3(х, у, z)

14.3.3 Ферми-газ и плотность состояний

М

Рис. 14.8. Функция распределения Ферми-Дирака f(E), обладающая постоянной плотностью заселенности состояний в k-пространстве, показанна при Т= 0 (а) и 0 < Т < TF (б)

ногие свойства хороших проводников электричества объясняются в модели, в которой валентные электроны в металле отделяются от своих атомов и становятся делокализованными электронами проводимости, способными свободно передвигаться по остову из положительных ионов, таких как Na⁺ или Ag⁺. В сред­нем между соударениями они проходят расстояние l, называемое длиной свобод­ного пробега, как уже упоминалось в параграфе 14.3. 1 . Из-за способности двигать­ся в металле почти без помех такие электроны ведут себя как газ, называемый Ферми-газом. Их кинетическая энергия равна

Е = mv²/2 = р^г/2т, где т — масса электрона, v — его скорость, а р = mv — импульс. Такая модель хорошо объясняет закон Ома, согласно которому напряжение V и ток I пропорциональны друг дру­гу с коэффициентом R, называемым сопротивлением, то есть V= IR.

В квантовомеханическом описании проекция р_х импульса электрона на на­правление х составляет р_х = ħk_x, где ħ = h/2π — универсальная константа приро­ды, называемая постоянной Планка, a k_x — проекция волнового вектора k на на­правление х. Каждый электрон обладает уникальными значениями k_x, k_y и k_z В параграфе 2.2.2. показано, что значения k_x, k_y, k_z различных электронов образу­ют решетку в k-пространстве, называемом также обратным пространством. При температуре, равной абсолютному нулю, электроны Ферми-газа занимают все узлы решетки в обращенном пространстве вплоть до расстояния k_F от началь­ного значения k =0, что соответствует значению энергии, называемому энерги­ей Ферми E_F, и равному

E_F= ħ²k_F²/(2m) (14.5)

В предположении, что образец имеет форму куба со стороной L, его объем в обычном координатном пространстве составляет V= L³. Расстояние между дву­мя соседними электронами в k-пространстве составляет 2π/ L, и при абсолютном нуле все электроны проводимости в нем равноудалены друг от друга, располага­ясь внутри сферы радиусом k_F и объемом 4 π k_F³/3. Эта ситуация с постоянной плотностью электронов в k-пространстве при температуре 0К отражена на рис. 14.8а. На рис. 14.86 можно увидеть отклоне­ния от равномерной плотности, возникающие около энергии Ферми при более высоких температурах..

Рис. 14.10 Плотность состояний D(e) = dN(E)/dE как функция энергии Е для элек­тронов проводимости в случаях делокали­зации по одному (квантовые проволоки), двум (квантовые ямы) и трем измерениям (объемный материал).

Рис. 14.9 Зависимость количества элек­тронов проводимости N(E) от энергии Е в случаях делокализации по одному (квантовые проволоки), двум (квантовые ямы) и трем измерениям (объемный ма­териал).

Рис. 14.10. Плотность состояний Z>(£) = dN(E)/dE как функция энергии Е для элек­тронов проводимости в случаях делокали­зации по одному (квантовые проволоки), двум (квантовые ямы) и трем измерениям (объемный материал).

Количество электронов проводимости с заданной энергией зависит от вели­чины этой энергии, а также от размерности пространства. Это происходит из-за того, что в одном измерении область, в которой находятся электроны, имеет вид отрезка длиной 2k_F, в двух измерениях — круга площадью πk_F, а в трех измерени­ях — шара объемом 4 π k³_F/3. Если разделить объемы этих областей на объем элемен­тарной ячейки в k- пространстве, приведенный во втором столбце той же табли­цы, и использовать выражение (14.5) для исключения k_F из формулы, можно получить зависимость количества электронов N с энергией Е, приведенную в первом столбце Таблицы 14.4 и изображенную на рис. 14.9. Наклоны кривых N(E), показанных на рис. 14.9, дают плотность состояний D(E), более строго определяе­мую как производная D(E) = dN/dE. Это означает, что количество электронов dN с энергиями Е, лежащими в узком ин­тервале dE = Е₂ — Е₁, пропорционально плотности состояний при данном зна­чении энергии. Получающиеся при разных значениях размерности объекта формулы для D(E) приведены в сред­нем столбце Таблицы 14.4, а соответст­вующие графики показаны на рис. 14.10. Видно, что в одномерных объектах плотность состояний умень­шается с ростом энергии, в двумер­ных — постоянна, а в трехмерных — растет с увеличением энергии. Таким образом, поведение D(E) в этих трех случаях существенно различается, что очень важно для понимания электри­ческих, тепловых и других свойств ме­таллов и полупроводников. Примеры того, как разные свойства материалов зависят от плотности состояний, при­ведены в 14.4.

Таблица 14.4 Количество электронов N и плотность состояний D(E)=dN(E)/dN как функция энергии Е для электронов проводимости, делокализованных в одном, двух и трех измерениях

Количество электронов N	Плотность состояний D(E)	Делокализовонные размерности
N=K1E1/2 N=K2E N = К3Е3/2	D(E)= 1/2K1T-1/2 D(E) = K2 D(E) = 3/2K3E1/2	1 2 3