3.3Одновимірна течія рідини

Ш ироке коло питань технічної механіки рідини може бути вирішене за допомогою специфічного підходу до вивчення руху рідини, котрий називається методом гідравліки. Його сутність полягає в тому, що течію рідини (Flow of liquid) подумки розбивають на ряд елементарних струминок (рис. 3.1), щоб вісь кожної з них була дотична до напрямку швидкості. Потім дійсну течію з різними швидкостями окремих струминок заміняють розрахунковою моделлю потоку, котрий рухається як одне суцільне ціле зі сталою для всіх частинок в даному перерізі швидкістю.

При такій схематизації течії швидкості і прискорення в напряму, нормальному до основного руху, не враховуються.

Для опису такої течії достатньо тільки однієї координати простору – відстані l вздовж осі потоку від перерізу, що розглядається, до деякої початкової точки О. Тому такий рух і називають одновимірним. Розв’язування задач одновимірної течії (Оne-mayor flow) рідини є предметом гідравліки.

Живим перерізом , м², називається площа поперечного перерізу потоку, яка нормальна до напрямку течії.

Витратою потоку (By a volume expense) Q, м³/с, називається об’єм рідини, який протікає за одиницю часу через живий переріз потоку , м², тобто

, (3.15)

де W – об’єм рідини в м³, який протікає за час  в секундах (хвилинах, годинах) через живий переріз потоку.

Середня швидкість потоку (Middle speed of stream) v, м/с, визначається за допомогою формули

. (3.16)

Середня швидкість пов’язана з місцевими швидкостями u в окремих

точках живого перерізу співвідношеннями

. (3.17)

Змоченим периметром (The moistened perimeter ) , м, називається частина периметра живого перерізу, яка обмежена твердими стінками.

Гідравлічним радіусом (Hydraulic radius) R, м, потоку називається відношення площі живого перерізу до змоченого периметра

. (3.18)

Гідравлічний радіус характеризує розмір і форму перерізу потоку. Чим більший (для заданої площі перерізу) гідравлічний радіус, тим менше буде змочена поверхня стінок, а отже, тим менші і опори руху, які пропорційні змоченій поверхні.

Масова витрата потоку, кг/с

, (3.19)

де – масова витрата потоку за час , кг;

; ; ,

 – густина рідини, кг/ м³.

При усталеному русі нестисливої рідини витрата рідини у всіх живих перерізах потоку однакова, тобто

, (3.20)

де v₁ , v₂ , . . . , v_n – середні швидкості в відповідних живих перерізах потоку 1 , 2 , . . . n .

Із цього рівняння витікає

(3.21)

тобто, середні швидкості обернено пропорційні відповідним площам живих перерізів.

Рівняння сталості витрати дозволяють розв’язувати задачі на визначення однієї з трьох величин Q , v,  , якщо відомі дві інші.

3.4Потенціал швидкості, функція течії

Кутова швидкість обертання (Angular speed of rotation) рідинної частинки

(3.22)

де – вектор кутової швидкості;

– вихор вектора швидкості рідинної частинки.

В проекціях на декартові осі координат

. (3.23)

При потенціальному (безвихровому) русі вектор

(3.24)

в координатній формі запишеться так

. (3.25)

В потенціальному полі існує скалярна функція , яка пов’язана з вектором швидкості такою залежністю

(3.26)

Ця функція називається потенціалом швидкості (Potential of speed). Беручи до уваги потенціал швидкості для плоскої течії, визначимо проекції швидкості із таких співвідношень

(3.27)

Криві (х, у) = const називаються еквіпотенціальними лініями.

Рівняння нерозривності для потенціального руху нестисливої рідини перетворюється в рівняння Лапласа

, (3.28)

де – оператор Лапласа,

для плоскої течії

. (3.29)

Отже, потенціал швидкості є гармонічною функцією.

Для плоского потоку нестисливої рідини існує функція (х, у), яка називається функцією струменя (Function of current), для якої справедливі умови

(3.30)

Вираз (х, у) = const є рівнянням сімейства ліній струменів.

Для безвихрового руху функція струменя, як і потенціал швидкості, задовольняє рівняння Лапласа

. (3.31)

Різниця значень функцій струменя на двох суміжних лініях струменя дорівнює витраті між ними, тобто

. (3.32)

Функції  і  визначаються із співвідношень

, (3.33)

які є умовними Коші-Рімана. Вони показують, що лінії  = const і  = const взаємно ортогональні.

Для розв’язання практичних задач широко використовується метод накладання потенціальних потоків, які є слідством лінійності рівнянь Лапласа.

Дійсно, якщо є два потоки з потенціалами ₁ і ₂, то потенціал швидкості нового результуючого потоку

. (3.34)

Аналогічно функція струменя буде дорівнювати алгебраїчній сумі функцій струменів вихідних потоків

. (3.35)