3Кінематика рідини

3.1Методи вивчення руху рідини

Кінематика рідини – розділ гідрогазодинаміки, в якому вивчаються лише геометричні властивості руху рідини. В силу цього всі основні виведення кінематики справедливі для будь-якої рідини як в’язкої, так і нев’язкої.

В основу вивчення кінематики рідини покладені гіпотези про неперервність зміни кінематичних параметрів (швидкостей, прискорень). Тобто, швидкість (Speed) рідини передбачається неперервною функцією від координат, а отже такою, яку можна диференціювати.

Для зручності досліджень будь-який об’єм рідини подають складеним із великої кількості частинок рідини. Відповідно до цього до дослідження руху частинки рідини можливий такий же підхід, як і до досліджень руху точки в механіці.

Існують два основних методи дослідження кінематики рідини: метод Лагранжа і метод Ейлера.

Переважне розповсюдження одержав метод Ейлера, згідно з яким розглядається поле швидкостей (The field of speeds) в точках простору, занятого рідиною, що рухається. Поле швидкостей задається в такому вигляді

(3.1)

де u, v, w – проекції швидкості на декартові осі координат;

x, у, z – координати точок простору;

 – час.

Залежності (3.1) описують неусталений рух, якщо то рух усталений стаціонарний.

Важливі в кінематиці поняття про лінії струменя і траєкторії частинок рідини, що рухаються.

Лініями течії (Lines of current) називають криві, в кожній точці котрих в даний момент часу вектор швидкості збігається за напрямком з дотичною.

Диференціальні рівняння ліній струменя мають вигляд

, (3.2)

а рівняння траєкторії –

(3.3)

Під траєкторією (Trajectory) розуміють геометричне місце послідовних положень частинки, що рухається, в розглядуваній системі координат.

При усталеному русі траєкторії і лінії течії збігаються.

Вектор швидкості (Vector of speed) частинки рідини можна представити

де – базові вектори.

Проекції прискорень рідинної частинки на декартові осі координат визначають із співвідношень

(3.4)

Перші члени правих частин системи рівнянь (3.4) відображають зміну проекцій швидкостей в даній точці простору в зв’язку зі нестаціонарністю поля швидкості і носять назву локальних прискорень, інші члени пов’язані з неоднорідністю поля швидкостей і називають конвективними прискореннями.

3.2Закон збереження маси

В гідродинаміці цей закон в загальному випадку подається у вигляді рівняння нерозривності (Equation of indissolubility) (суцільності)

, (3.5)

де  – густина рідини.

Для нестисливої рідини

(3.6)

або в проекції на декартові осі координат

. (3.7)

Рух нестисливого суцільного середовища можливий лише у випадку, коли для розглядуваного поля швидкостей справедлива рівність (3.7).

Потік вектора швидкості через поверхню  є скалярною величиною, яка визначається за формулою

, (3.8)

де – нормаль до поверхні.

В координатній формі , або

. (3.9)

Фізично потік вектора швидкості являє собою секундну об’ємну витрату рідини через поверхню .

Сукупність ліній течії, які проходять через всі точки нескінченно малого замкнутого контуру, утворюють поверхню, яка називається трубкою течії (Tube of flow). Рідина, яка знаходиться всередині трубки течії, називається струменем (Stream).

Рівняння суцільності для струменя нестисливої рідини має вигляд

, (3.10)

де dQ – елементарна об’ємна витрата через поперечний переріз струменя;

d – площа перерізу струменя.

Із рівняння (3.10) витікає, що елементарна об’ємна витрата стала вздовж струменя.

Для потоку скінченних розмірів рівняння нерозривності має вигляд

, (3.11)

де v – середня швидкість в розглядуваному перерізі;

 – площа поперечного перерізу потоку.