2. Розрахунок нормальних та дотичних напружень, сили осадки прямокутної штаби необмеженої довжини з урахуванням контактного тертя.

2.1 Теоретичні основи операції осадки

Осадкой называют технологическую операцию при помощи, которой уменьшают высоту исходной заготовки с одновременным увеличением площади поперечного сечения.

По схеме деформации осадка представляет собой сжатие – деформация в направлении активного усилия отрицательна, а две другие положительны. В частных случаях возможно равенство последних между собой (простое сжатие) или равенство одной из них нулю (плоская деформация).

В идеальном случае, при отсутствии сил трения, схемы главных напряжений при осадке соответствуют линейному сжатию. Во всех остальных случаях преобладающие схемы главных напряжений при осадке представляют собой схемы всестороннего неравномерного сжатия.

Осадка прямоугольной полосы неограниченной длины.

Поскольку длину заготовки можно считать неограниченной, то деформация – плоская, то есть равна нулю в направлении длины заготовки. Искажением формы сечения пренебрегаем. Процесс деформации рассматриваем в каждый момент, следовательно, полученные результаты отвечают всему периоду процесса.

2.1.1 Осадка без урахування тертя

При відсутності тертя на контактної поверхні (μ=0) напружений стан металу буде лінійним.

Сила, необхідна для початку осадки Р_о визначимо по формулі

Р_о = σ_s∙F_o , (1)

де σ_s= межа текучості металу, МПа;

F₀ = В ∙ L - поперечний переріз, мм²;

В, L - ширина и довжина, мм.

_{Накопичена деформація при осадці штаби від висоти Н до h}

; (2)

Поперечний переріз штаби у кінці осадки F₁

. (3)

Сила у кінці осадки Р₁

Р₁ = σ_s∙F₁ . (4)

Витрата енергії при осадці до висоти h:

₍₅₎

2.1.2 Осадка з урахуванням тертя

Тертя змінює схему напруженого стану на усестороннє стиснення.

Напрямок елементарних сил тертя на дотичних поверхнях а, следовательно, і дотичних напружень показані на рис 1:

σ_x+Δσ_x

H

Рисунок 1. Схема напружень при осадці

Визначимо розподіл контактного тиску р и напруження τ_тр по ширині при осадці штаби.

Для рішення поставленої задачі використаємо інженерний метод( метод тонких перерізів). Виділимо у об`ємі металу осаджуємо й заготовки переріз товщиною ΔХ на відстані Х від центру осей координат.

Визначимо усі сили, яки діють на виділений переріз. При цьому предполагаем, что деформация по оси У отсутствует, то есть длина заготовки не изменяется.

Складемо рівняння рівноваги. Прирівняємо суми проекцій усіх сил на вісі Х и Z до нуля:

На вісь Z: p∙H∙L - p∙H∙L = 0

На вісь Х: σ_х∙H∙L – (σ_x + Δσ_x) ∙H∙L - 2τ_тр∙Δx∙L=0

σ_х∙H∙L - σ_х∙H∙L - Δσ_х∙H∙L - 2τ_тр∙Δx∙L = 0

- Δσ_х∙H∙L - 2τ_тр∙Δx∙L = 0

Δσ_х∙H∙L + 2τ_тр∙Δx∙L = 0

Розділімо почленно на H∙L∙Δx:

При Δх→0 можна записати:

За умовою пластичності Треска (для умови плоского стиснення ) діють таки співвідношення між головними напруженнями :

σ₃ – σ₁ = - σ_т , де σ₃ – найбільше, σ₁ – найменше.

Для стиснення: σ₃=-р; σ₁=-σ_х , тоді дана умова має вид: -р-(- σ_х)=- σ_т, відкіля: σ_х=р- σ_т , тоді:

dσ_x=d(p-σ_т)=dp, так як σ_т=const, маємо:

Значення τ_тр по довжині бійка не постійно, потому довжину контакту розбивають на частини з різними зонами змінення τ_тр , і кожну дільницю розглядають окремо.

Перша дільниця «Ковзання»

Ця дільниця розташована від бічної грані заготовки (х=В/2) до координати х*. На цьої ділянці τ_тр визначається по закону:

τ_тр=μ∙р,

р=р₀ ; τ_тр=τ₀ ; р₀=р_с.

Рівнення (2) для даної ділянки має вид:

( 3 )

Розділив перемінні и проінтегрував по вісі х отримаємо:

( 4 )

Зная, що при x=B/2 ; P=σ_T найдёмо С₁:

Відкіля:

(5)

На краю заготовки (x=0,5B) P_C=σ_T . Приймемо x^*=x, це мінімальне значення x, при якому починається дія закону тертя-ковзання.

При x^*=x τ_тр=0,5σ_T – максимальне дотичне напруження, но:

Значить передумова, що τ_тр=µp, прийняте при виводі формули (5), а потому і сама ця формула дійсна при таких значеннях, при яких:

µp ≤ 0,5 σ_T або

Для цього слідує виконати таке нерівенство:

Рішення цього нерівенства відносно x, отримуємо:

т.к.

(6)

При отримуємо:

(7)

Таким чином, величина p_c на ділянці ковзання змінюються по експоненціальному закону:

Від p_{с (x=B/2)} = σ_T до p_{с (x=x*)} →

Рисунок 2. Типова епюра нормальних и дотичних напружень

Даний рисунок представляє собою епюру нормальних контактних p і дотичних τ напружень, де:

На рисунку видно, що інтенсивність росту напружень р и τ_тр – зростає в напрямку до вісі симетрії перерізу заготовки z по мірі віддалення від краю штаби.

от до

Дотичне напруження на ділянці ковзання змінюється:

_від до

Ділянка, де діє закон пластичного тертя є ділянкою гальмування. На неї деформаційне рівняння має вид:

Константу С₂ найдемо з умови, що при

Таким чином:

Тоді p_т буде визначено таким чином:

При

На ділянці «Гальмування» р змінюється лінійно на поверхні заготовки. Посередині ширини заготовки коефіцієнт тертя μ =0, так як в цієї точці дотичні напруження тертя, однакові за величиною, але відмінні по знаку (різнонаправлені). Із цього слідує, що у центральної зоні на поверхні заготовки існує ділянка, яка характеризується мінімальним значенням тертя, або його відсутністю.

Дана ділянка називається ділянкою «Прилипання»:

або

При значення буде максимально і буде дорівнювати ;

У даному випадку рівняння (2) прийме вид:

Після інтегрування отримаємо:

Константу С₃ найдемо з умови: при

Тоді