Порядок анализа переходных процессов операторным методом

Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.

Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.

Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.

Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе с помощью изложенного ранее метода сигнальных графов.

Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применение таблиц обратного преобразования Лапласа с учетом основных свойств преобразования Лапласа. Если изображения интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов p, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Экспоненциальное внешнее воздействие , где А и r- некоторые комплексные числа

Обобщенная комплексная амплитуда – это коэффициент числа , имеющий размерность внешнего воздействия.

Обобщенная (комплексная) частота – величина , имеющая размерность .

Входным сопротивлением Z( ) пассивного линейного двухполюсника при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока: . (6.6)

Входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии:

; (6.7)

Оператор преобразования Лапласа р - это обобщенная (комплексная) частота экспоненциального воздействия вида .

Операторной или обобщенной частотной характеристикой H_kv(p) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи S_k(p) к операторному изображению внешнего воздействия X_v(p) при нулевых начальных условиях:

(6.8)

Комплексная частотная характеристика – это частный случай обобщенной характеристики при

Операторное входное сопротивление

(6.9)

Операторная входная проводимость

(6.10)

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току (6.11)

(6.12)

Операторные передаточные сопротивления

(6.13)

Операторная передаточная проводимость

(6.14)

Нулями операторной характеристики называются значения ее аргумента p_oi, при которых операторная характеристика обращается в нуль.

Полюса функции H_kv(p) называют значениями ее аргумента p_xk, при которых операционная характеристика стремиться к бесконечности.

Полюсно-нулевой диаграммой функции называют графическое изображение расположения нулей(кружков) и полюсов(крестиков) в плоскости комплексной частоты

Мнимую ось полюсно-нулевой диаграммы обозначают jω, а вещественную -σ.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция:

(6.15)

Скачок такого типа тока или напряжения называют единичным

Единичный импульс – импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается и называется δ- функцией или функцией Дирака: (6.16)

δ-функция представляет собой производную единичной ступенчатой функции, а ступенчатая функция- интеграл от δ - функции.

Переходной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи S₁(t) на воздействии неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка, при нулевых начальных условиях: .

Если X=1, то =s₁(t) переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.

Импульсной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади A_u к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

(6.16)

Если A_u=1, импульсная характеристика цепи численно равна реакции на воздействие единичного импульса.

Импульсная характеристика цепи - это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи , а непереходная характеристика цепи – функция, операторное изображение которой равно

Интеграл Дюамеля (интеграл наложения) – это выражение:

позволяющее найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации по переходной характеристики цепи.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике можно определить, используя интеграл Дюамеля: