Тема 4. Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии

Метод токов ветвей: позволяет определить токи ветвей, составляя сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи, которая включает в себя q-1, уравнений баланса токов и р-q+1-рит уравнений баланса напряжений, составленных для главных контуров, не содержащих ветвей с источниками тока, и все входящие в эти уравнения напряжения ветвей должны быть выражены через соответствующие токи

Метод напряжения ветвей: в качестве неизвестных использует напряжения р-р_ин ветвей, система уравнений электрического равновесия в этом методе включает в себя p-q+1 уравнений баланса напряжений и q–р_ин-1 уравнений баланса токов, составленных для главных селений, не содержащих ветвей, состоящих только из источников напряжения, причем неизвестные токи ветвей, входящие в эти уравнения, должны быть выражены через напряжения этих же ветвей.

Метод контурных токов: позволяет определить контурные токи исследуемой цели содержащей n=p-q+1 независимых контуров. В матричной форме , (4.1)

где

- матрица комплексных контурных сопротивлений

,

-матрицы – столбцы комплексных контурных токов и контурных ЭДС.

Собственное комплексное сопротивление i-го контура- это сумма комплексных сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур.

Общие или взаимные комплексное сопротивления i-го и j-го контуров называют комплексные сопротивления ; равные сумме комплексных сопротивлений ветвей, общих для этих контуров берется со знаком комплексного сопротивления, если контурные токи рассматриваемых контуров в общей ветви направлены одинаково, если в разных, то общее комплексное сопротивление берут с противоположным знаком.

Контурная комплексная ЭДС i-го контура – алгебраическая сумма ЭДС всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур.

Если направление ЭДС какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в со знаком плюс, в противном случае- со знаком минус.

Порядок составления уравнений по методу контурных токов:

1) построить гриф цепи, выбрать дерево грифа, выделить соответствующие выбранному дереву систему главных контуров;

2) определить число контурных уравнений и записать контурные уравнения.

3) записать элементы матриц контурных сопротивлений, контурных ЭДС и контурных токов;

4) решить систему уравнений, зная контурные токи найти токи ветвей, алгебраически складывая контурные токи соответствующих ветвей.

Метод узловых напряжений - это метод формирования уравнений электрического равновесий цепи, в котором в качестве независимых переменных используются напряжения m=q-1 узлов относительно базисного или опорного узла, потенциал которого равен нулю.

Система узловых уравнений в матричной форме имеет вид:

, (4.2)

где

-матрицы узловых комплексных проводимостей цепи;

,

-матрицы-столбцы узловых комплексных напряжений и узловых комплексных токов.

Собственная комплексная проводимость

i-го узла равна сумме комплексных проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу.

Общая(взаимная) комплексная проводимость i-го и j-го узлов - это сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятые с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между i-м и j-м узлами, то

Узловой комплексный ток i-го узла j_i0 равный алгебраической сумме комплексных токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в выражения для j_i0 со знаком плюс, если ток направлен от i-го узла, то со знаком минус. Напряжения ветви между i-м и j-м узлами равно разности узловых напряжений этих узлов -

Порядок анализа электрической цепи методом узловых потенциалов:

1) преобразовать электрическую цепь, т.е. заменить сопротивления ветвей их проводимостями, представить источники параллельными схемами замещения;

2) выбрать опорный и независимые узлы преобразованной схемы;

3) записать узловые уравнения в матричной форме;

4) определить элементы матриц узловых комплексных проводимостей и токов;

5) решить систему узловых уравнений;

6) определить напряжения ветвей.

Напряжение ветви, включенной между i-м и базисным узлом, равно узловому напряжению i-го узла взятому со знаком плюс, если направления напряжения совпадает с узловым напряжением и минус если не совпадает.

Принцип наложения: реакция линейной электрической цепи на произвольное внешнее воздействие, представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Метод наложения основан на принципе наложения и позволяет определить ток (напряжений) любой ветви представляющей собой сумму частных токов(напряжений) полученных от действия каждого источника в отдельности при выключенных остальных.

Теорема взаимности: контурный ток k-го контура цепи вызванной действием единственного независимого источникa напряжения помещенного в i-ый контур, равен контурному току i-го контура, вызванному действием того же источника напряжения, перемещенного из i-го контура в k-й , причем ориентация источника напряжения, помещенного в какой-либо контур, относительно контурного тока этого же контура в обоих случаях принимается одинаковой.

Взаимная электрическая цепь, цепь для которой выполняется теорема взаимности, если не выполняется, то цепь невзаимная.

Теорема компенсации формируется следующим образом: токи и напряжения ветвей произвольной электрической цепи не изменяется, если можно ветвь этой цепи заменить идеальным источником ЭДС, напряжение которого равно напряжению данной ветви и имеет одинаковое с ним направление, либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по направлению.

Напряжение холостого хода- это напряжение между выводами двухполюсника в режиме холостого хода.

Ток короткого замыкания – ток между выводами двухполюсника в режиме короткого замыкания.

Автономный двухполюсника - двухполюсник, напряжения холостого хода или ток короткого замыкания которого не равны 0.

Неавтономный двухполюсник- такой, напряжение холостого хода или ток короткого замыкания которого тождественно равны 0.

Комплексным входным сопротивлением Z неавтономного двухполюсника называется отношение комплексной амплитуды напряжения на его зажимах и комплексной амплитуде тока.

Комплексным входным сопротивлением автономного двухполюсника называется комплексное входное сопротивление соответствующего ему неавтономного двухполюсника.

Теоремy об эквивалентном источнике называют теоремой Гельмгольца: ток произвольной ветви линейной электрической цепи не изменится, если автономный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным линеаризованным источником, который может быть представлен последовательной или параллельной схемами замещениями ЭДС источника напряжения в последовательной схеме замещения равна комплексному напряжению холостого хода автономного двухполюсника, а внутреннее комплексное сопротивление равно его комплексному входному сопротивлению. Ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен комплексному току короткого замыкания автономного двухполюсника, а внутренняя комплексная проводимость равна его комплексной входной проводимости.