Тема 3. Частотные характеристики и резонансные явления.

Комплексной частотной характеристикой (частотным коэффициентом передачи) цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

(3.1)

где – комплексное действующее значение реакции цепи, _ν– комплексное действующее значение внешнего воздействия, k – номер выходных зажимов, ν – номер входных зажимов.

Комплексная частотная характеристика (КЧХ) может быть записана в показательной

или алгебраической форме.

Модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз отклика и внешнего воздействия.

Амплитудно-частотная (АЧХ) характеристика цепи зависимость модуля H_kν(ω) комплексной частотной характеристики от частоты ω.

Фазо-частотная (ФЧХ) характеристика цепи – зависимость аргумента Ψ_kν(ω) комплексной частотной характеристики от частоты ω.

Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора H_kν(jω), соответствующих изменению частоты от ω=0 до ω=∞ (рис. 3.1)

ω

Im[H(jω)]

ω₃

ω₂

0.5

H(jω)

ω₁

H”(ω)

ψ(ω)

ω=∞

Н׳(ω)

0.5

Re [H(jω)]

1.0

0

Рис. 3.1

На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты ω, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Н_kν(jω) при увеличении частоты.

Комплексное входное сопротивление резистивного элемента определяется выражением Z_R(jω)= _R=R и не зависит от частот, годограф входного сопротивления вырождается в точку на комплексной плоскости (рис. 3.2а)

Модуль комплексного входного сопротивления Z_R(ω), и его аргумент φ_R(ω) не зависят от частоты: Z_R(ω)=R; φ_k(ω)=0, поэтому АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления имеют вид прямых линий с постоянной ординатой.

Im[Z_R(jω)]

R

0≤ω≤∞

φ_R(ω)=0

R

0

0

Re[Z_k(jω)]

0

а) б) в)

Рис. 3.2

Комплексное входное сопротивление индуктивности является чисто мнимой величиной, то при изменении частоты конец вектора Z_L(jω) =jωL=ωLej π/2 перемещается вдоль положительной мнимой полуоси (рис. 3.3 а)

0

0

0

а) б) в)

Рис. 3.3

Модуль комплексного входного сопротивления Z_L(ω)=ωL (рис.3.3б), его аргумент φ_L(ω)=π/2 (рис. 3.3в).

Комплексное входное сопротивление емкости годограф изображен на рис. 3.4а, АЧХ (рис. 3.4б) и ФЧХ (рис. 3.4в).

Im[Z_С(jω)]

Z_С(ω)

Φ_С(ω)

0

ω=∞

ω

0

ω₃

Re[Z_L(jω)]

φ_R(ω)= -π/2

ω

ω₂

-π/2

0

ω₁

ω

а) б) в)

Рис. 3.4

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика цепи нормированная АЧХ- цепи, построенная в логарифмическом масштабе. По оси абсцисс откладывают значения lg , а по оси ординат – значение величины Н_дб=20 lg[ ], которую называют логарифмическим модулем КЧХ или модулем КЧХ в децибелах, – нормированная угловая частота.

Резонанс – это такой режим работы электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором ее комплексное входное сопротивление имеет чисто резистивный характер, и, следовательно, сдвиг фаз между током и напряжением на входе равен нулю.

Резонанс напряжения наблюдается в последовательной RLC-цепи, когда входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер, x_L=|x_C|.

В этом случае напряжение на емкости равно по амплитуде и противоположно по фазе напряжению на индуктивности ( _C= - _L), а напряжение на входе цепи равно напряжению на сопротивлении _R и совпадает по фазе с входным током

Резонанс токов возможен в параллельной RLC -цепи, когда входная проводимость имеет чисто резистивный характер (b_L=|b_C|). Ток индуктивности равен по амплитуде и противоположен по фазе току емкости ( _C= - _L) , а входной ток цепи равен току через сопротивление _R и совпадает по фазе с входным напряжением .

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь, содержащую индуктивную катушку и конденсатор, включение последовательно с источником энергии.

Резонансная частота контура ω₀ равная угловой частоте внешнего воздействия, когда мнимая составляющая входного сопротивления последовательного контура равна нулю.

Характеристическое сопротивление контура - величина , равная полному сопротивлению емкости или индуктивности контура на резонансной частоте.

Добротность контура – отношение амплитуды напряжения на реактивном элементе контура к амплитуде напряжения на контуре на резонансной частоте.

(3.2)

Добротность контура не может превышать добротность его элементов на резонансной частоте.

Добротность последовательного колебательного контура равна отношению энергии запасенной в контуре, и энергии, потребляемой контуром за период колебаний, умноженному на 2π

(3.3)

Комплексная входная проводимость последовательного контура в режиме холостого хода на выходах:

(3.4)

где АЧХ входной проводимости (рис. 3.5а);

ФЧХ входной проводимости(рис. 3.5б).

π/2

ω₀

-π/2

0

ω₀

0

ω

ω

а) б)

Рис. 3.5

Обобщенная расстройка: (3.5)

Абсолютная расстройка

Относительная расстройка

Нормированная частота

Нормированная комплексная входная проводимость последовательного колебательного контура это комплексная входная проводимость , нормируемая по значению, которое она принимает на резонансной частоте , (3.6)

ν

Нормированная АХЧ (а) и ФХЧ (б) последовательного контура имеют вид представленный на рис. 3.6.

90⁰

60⁰

30⁰

0

-30⁰

-60⁰

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

-90⁰

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

а) б)

Рис. 3.6

Im[ (jξ)]

Годограф нормированной комплексной проводимости последо-вательного колебательного контура имеет вид, изображенный на рис. 3.7

ξ=-1

ξ

ξ=-2

0.5

ξ=-0,5

ξ=0

ξ=-∞

0

Re [ (jξ)]

1.0

ξ=∞

0.5

ξ=2

ξ=0,5

ξ=1

Рис. 3.7

Коэффициенты передачи последовательного колебательного контура на резонансной частоте К_L(ω₀)=К_C(ω₀)=Q равны добротности контура.

Избирательность - способность электрической цепи выделять колебания отдельных частот из суммы колебаний различных частот.

Полосой пропускания (шириной полосы пропускания) реальных избирательных устройств на уровне 1/α или условно определяется как диапазон частот, в пределах которого амплитуда отклика цепи не падает больше, чем в α раз, относительно своего максимального значения.

Полосу пропускания избирательной цепи обычно находят на уровне, когда амплитуда отклика составляет от максимального значения, и эту полосу обозначают П_f или П_ω.

Коэффициент прямоугольности АЧХ, служит для оценки избирательных свойств цели, определяется как отношение значений полосы пропускания, измеренных на уровнях 1/ ₁ и 1/ ₂ :

, (3.7)

где ₂ < ₁ .

Значение или обычно рассчитывают на уровне 0,01 (-40 дБ), а значение или - на уровне 0,707 (-3 дБ).

Полоса пропускания последовательного контура при фиксированном значение резонансной частотой ₀ обратно пропорциональна его добротности и не зависит от емкости С, на уровне в Q раз меньше его резонансной частоты:

(3.8)

Эквивалентная добротность последовательного колебательного контура определяется выражением

(3.9)

где - добротность контура без учета сопротивления источника R_i.

Для повышения эквивалентной добротности контура необходимо, чтобы внутреннее сопротивление источника энергии было как можно меньше, т. е. источник приближался к идеальному источнику напряжения.

Сопротивление нагрузки контура должно быть как можно больше, чтобы не снижать эквивалентную добротность контура и не увеличивать ширину его полосы пропускания.

Параллельным колебательным контуром называется электрическая цепь, в которой индуктивные катушки и конденсаторы размещены в двух ветвях, подключенных параллельно источнику энергии.

Резонансная частота параллельного колебательного контура ω_р совпадает с резонансной частотой последовательного контура ω₀, составленного из тех же элементов: (3.10)

Добротность параллельного колебательного контура отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте:

(3.11)

Эквивалентная добротность параллельного контура приближается к добротности контура, если контур подключен к идеальному источнику тока (G_i=0) и сопротивление нагрузки контура было бы бесконечно большим.

Резонансное сопротивление параллельного контура это входное сопротивление контура на резонансной частоте

(3.12)

имеет чисто резистивный характер.

Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью – это параллельный контур, которой содержит индуктивную катушку с отводом, разделяющим катушку на две секции; секция с индуктивностью L₁, образует одну ветвь колебательного контура (рис. 3.8), а секция с индуктивностью L₂ с конденсатором C- другую.

1

i₂

i₁

L₂

L₁

j

C

U

R₂

R₁

Рис. 3.8

Коэффициент включения индуктивности , определяет, какая часть суммарной индуктивности катушки L=L₁+L₂ включена в первую ветвь:

(3.13)

Частота резонанса токов _PT параллельного колебательного контура с разделенной индуктивностью при его высокой добротности не зависит от коэффициента включения индуктивности и совпадает с резонансной частотой ω₀ последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов, что и рассматриваемый контур.

Частота резонанса напряжений ω_рн параллельного контура с разделенной индуктивностью определяется емкостью и индуктивностью второй ветви L₂ и, следовательно, зависит от коэффициента включения индуктивности:

(3.14)

Резонансное сопротивление параллельного контура с разделенной индуктивностью R₀( ) меньше резонансного сопротивления контура основного вида на :

(3.15)

АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного колебательного контура с разделенной индуктивностью имеют вид, изображенный на рис. 3.9.

Z(ω)

φ(ω)

π/2

0

ω

-π/2

ω_PH

0

ω_PT

а) б)

Рис. 3.9

Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью применяется на практике при согласовании контура с источником энергии, а выражений минимум АЧХ, используют для подавления колебаний, частота которых близка к частоте контура.

1

Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью (рис. 3.10) имеет частоту резонанса токов , характеристическое сопротивление g и добротность Q, аналогичные соответствующим характеристика последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов и, следовательно, обладающего теми же суммарной емкостью и суммарным сопротивление .

i₂

i₁

C₂

j

L

C₁

U

R₁

1’

Рис. 3.10

Коэффициент включения емкости

. (3.16)

Частота резонанса напряжения параллельного колебательного контура с разделенной емкостью определяется параметрами второй ветви

. (3.17)

Резонансное сопротивление контура с разделенной емкостью пропорционально квадрату коэффициенту включения:

(3.18)

Два контура называются связанными, если возбуждение электрических колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом.

Коэффициент связи между контурами называется среднее геометрическое из коэффициентов из первого во второй и из второго в первый в режимах холостого хода:

(3.19)

Настройка связанных колебательных контуров заключается в таком выборе параметров реактивных элементов контуров, при котором ток вторичного контура достигает максимальной величины при заданных частоте и амплитуде.

Параметр (фактор) связи произведение коэффициента связи на добротность. (3.20)

(Параметры связанных контуров одинаковы)

Частотная характеристика связанных контуров - это зависимость тока вторичного контура от обобщенной расстройки при различных значениях параметра связи имеет вид представленный на рис. 3.11.

A=2.41

A=1.0

A=0.5

0

4

2

0

-2

-4

Рис. 3.11

АЧХ связанных контуров имеет форму близкую к прямоугольной, и характеристики имеют большую крутизну склонов по сравнению с одиночными колебательными контурами.