Тема 2. Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Гармоническая функция - функция времени a(t) изменяющаяся по синусоидальному или косинусоидальному закону

a(t)=A_mcos(ωt+Ψ)= A_msin(ωt+Ψ') (2.1)

где .

Амплитуда A_m наибольшее значение гармонической функции.

Мгновенная фаза (фаза) аргумент Θ= ωt+Ψ гармонической функции, записанный в косинусоидальной форме.

Начальная фаза – значение мгновенной фазы Θ при t = 0.

Угловая частота – скорость изменения мгновенной фазы

(2.2)

Период – наименьший промежуток времени Т, через который наблюдается повторение значений функции.

Частота – величина обратная периоду Т.

Установившийся режим – режим работы электрической цепи, при котором напряжения и токи всех ветвей цепи являются периодическими функциями времени или сохраняют неизменные значения.

Среднее значение гармонической функции за период равно нулю:

(2.3)

Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения в π/2 раз меньше его амплитуды:

(2.4)

Действующее значение гармонического тока или напряжения в √2 раз меньше его амплитуды:

(2.5)

Действующее значение I периодического тока i(t) численно равно значению постоянного тока I, при протекании которого за время Т выделится такое же количество энергии, как при протекании тока i(t).

Мгновенный или текущий комплекс гармонической функции – это комплексное число , которому можно поставить в соответствие гармоническую функцию времени а(t):

(2.6)

модуль которого равен амплитуде гармонической функции А_m, а аргумент ее фазе Θ=ωt+ .

Вещественная часть мгновенного комплекса равна исходной гармонической функции:

(2.7)

Геометрический мгновенный комплекс может быть представлен в виде вектора , длина которого в определенном масштабе равна амплитуде А_m, соответствующей гармонической функции, а угол с положительным направлением вещественной полосы α(t) изменяется во времени по такому же закону, как и фазы гармонической функции

α(t)= Θ=ωt+ .

Рис. 2.1

Комплексная амплитуда – значение мгновенного комплекса в момент времени t=0, тогда мгновенный комплекс может быть преобразован к виду: (2.8)

Оператор вращения – это e^jωt. Он имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей линейной электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудными и начальными фазами, поэтому полная информация о них содержится в соответствующих комплексных амплитудах.

Умножение гармонической функции времени на произвольное число соответствует умножению комплексной амплитуды на это же число:

(2.9)

Линейной комбинации гармонических функций времени одной части соответствует линейная комбинация их комплексных амплитуд:

(2.10)

где α_к – постоянные коэффициенты; N – произвольное целое число.

Дифференцирование гармонической функции времени соответствует умножение ее комплексной амплитуды на jω:

(2.11)

Интегрирование гармонической функции времени соответствует деление комплексной амплитуды на jω:

(2.12)

Комплексное действующее значение

(2.13)

Комплексное входное сопротивление (комплексное сопротивление) пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

(2.14)

Величина и φ= _u- _i называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величина r и х – его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими.

Рис. 2.2

Re[ ]=Zcosφ I_w[ ]=Zsinφ

Комплексная входная проводимость участка цепи – величина, обратная комплексному входному сопротивлению:

(2.15)

Где y=|Y| полная входная проводимость цепи, величина, обратная модулю комплексного входного сопротивления; - аргумент комплексный входной проводимости = -φ

Закон Ома в комплексной форме: для действующих комплексных значений напряжения и тока на

,

или комплексных амплитудных значений напряжения и тока

(2.16)

Комплексная схема замещения цепи - это схема получения из схемы замещения для мгновенных значений всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений их комплексными изображениями.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных амплитуд (комплексных действительных значений) токов всех ветвей; подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равно нулю:

; , (2.17)

где К – номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Второй закон Кирхгофа комплексной форме: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равной нулю:

; (2.18)

где - номер ветви , входящей в рассматриваемый контур.

Порядок анализа линейной цепи в установившемся режиме при гармоническом внешнем воздействии методом комплексных амплитуд:

1)замена гармонических токов и напряжении всех ветвей их комплексными изображениями (комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями), а схемы замещения цепи - для мгновенных значений - комплексной схемой замещения;

2)составление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;

3)решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений;

4)переход от комплексных изображений интересующих токов и напряжений к их оригиналам.

Ток и напряжение линейного резистивного элемента совпадают по фазе , а действующие значения напряжения и тока связаны между собой соотношением .

Мгновенная мощность резистивного элемента определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока :

(2.19)

Активная мощность – это среднее значение мощности резистивного элемента за период, равна произведению действующих значений напряжения и тока:

(2.20)

Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексные сопротивления (б) и комплексной проводимости (в) резистивного элемента имеют вид:

Ψu = ΨI

Z_R=R

ImM

ImM

ReM

ReM

ReM

ImM

Y_R=1\R

а) б) в) Рис. 2.3

Ток емкости опережает по фазе напряжения на .

Действующее значение тока емкости пропорционально действующему значению напряжения: .

Мгновенная мощность емкости р_с при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, в два раза большей частоты воздействующего напряжения:

(2.21).

Среднее значение мощности емкости за период (активная мощность) равна нулю:

.

Энергия , записанная в емкости, достигнет максимального значения в те моменты времени, когда напряжение на емкости максимально по абсолютному значению:

(2.22).

Комплексное сопротивление и проводимость ёмкости

; (2.23)

(2.24)

Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости ёмкостного элемента (в) имеют вид:

а) б) в)

Рис. 2.4

Действующее значение напряжения индуктивности пропорционально действующему значению тока:

Напряжение индуктивности опережает ток на 90%

Мгновенная мощность индуктивности P_L при гармоническом воздействии изменяется с удвоенной частотой

(2.25)

Активная мощность индуктивности равна нулю:

(2.26)

Энергия w_L , запасённая в магнитном поле индуктивности, определяется мгновенным значением тона индуктивности

(2.27)

Комплексное сопротивление индуктивности :

(2.28)

Комплексная проводимость индуктивности :

(2.29)

Векторные диаграммы тона и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в) индуктивного элемента

а) б) в)

Рис. 2.5

Комплексное входное сопротивление последовательной RL-цепи:

, (2.30)

где - модуль комплексного входного сопротивления, , его аргумент. (2.31)

Если аргумент комплексного входного сопротивления φ какого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят что его входное сопротивление и проходимость имеют чисто резистивный (вещественный) характер, если , то его входное сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, а при - емкостный

Векторные диаграммы тока и напряжения (а) и комплексного входного сопротивления (б) последовательной RL-цепи

Z_R=R

a) б)

Рис. 2.6

Комплексное входное сопротивление последовательной RC-цепи:

Z=Z_R+Z_C , (2.32)

где

При конечных значения ω, К и С угол φ лежит в пределах –π/2< <0, т. е. входное сопротивление цепи имеет резистивно-ёмкостный характер

Векторная диаграмма тока и напряжения (а) и комплексного входного сопротивления (б) последовательной RS-цепи.

1. б)

Рис. 2.7

Комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи:.

, (2.33)

где - модуль и аргумент комплексного входного сопротивления

При Х_L >|Х_С| входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер (0<φ<π/2), векторная диаграмма для данного случая изображена на рис. а. Если Х_L <|Х_С|,то входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостный характер (-π/2<φ<0),. (рис. б). При Х_L =|Х_С|, лишние составляющие входного сопротивления ёмкости Х_С и индуктивности Х_L взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер(φ=0) (рис в)

Re

Z_L=jX_L

Re

Z_L=jX_L

Z_R=R

Im

Im

Im

Z_L=jX_L

Z_С=jX_С

φ=0

0

0

0

Z=Z_R=R

Re

Z

φ<0

Z_C=

Z_C=

а) б) в)

Рис. 2.8

Векторная диаграмма токов и напряжения последовательной RLC-цепи, соответствующие различным соотношениями между мнимыми составляющими комплексного сопротивления Х_С ёмкости и индуктивности Х_L, приведена на рис. 2.8.

Комплексная проводимость параллельной RLC-цепи, равна сумме комплексных проводимостей входящих в цель идеализированных элементов;

(2.34)

Если проводимость ёмкости b_C=ωC больше модуля проводимости индуктивности , т. е. bc>|b_L| (рис. а),то входная проводимость цепи имеет резистивно-ёмкостный характер (аргумент комплексной проводимости лежит π/2>ν>0),.. При bc<|b_L| (риc. б) входная проводимость цепи имеет резистивно-индуктивный характер, а при bc=|b_L| (рис. в) реактивные составляющие входной проводимости ёмкости bc и индуктивности b_L взаимно компенсируются и входная проводимость цепи имеет чисто резистивный (вещественный) характер

Векторные диаграммы токов и напряжения параллельной RLS-цепи при bc>|b_L| (рис. а), bc<|b_L| (риc. б) и bc=|b_L| (рис. в)

Рис. 2.9

Z₁

Делитель напряжения - это цепь, представляющая собой последовательное соединение двух идеализированных, двухполюсных элементов с комплексными сопротивлениями (рис. 2.9)

Z₂

Рис. 2.10

Напряжение на любом плече делителя напряжения равно напряжению на входе делителя, умноженному на некоторый коэффициент (комплексный коэффициент передачи делителя напряжения или коэффициент деления), равный отношению комплексного сопротивления данного плеча двигателя к сумме сопротивлений обоих плеч:

(2.35)

Напряжение на сопротивлениях делителя пропорционально их комплексным сопротивлениям: (2.36)

Делитель тока - это цепь (рис. 2.11),состоящая из параллельно соединённых двух идеализированных двухполюсных элементов с комплексными проводимостями и . Токи ветвей делителя

Y₂

Y₁

Рис. 2.11

прямо пропорциональны их комплексным проводимостям:

Ток любой ветви делителя тока равен входному току, умноженному на комплексный коэффициент передачи делителя тока (коэффициент деления), равный отношению комплексного сопротивления другой ветви делителя к сумме комплексных сопротивлений обоих плеч:

; (2.37)

Мгновенная мощность пассивного двухполюсника:

Где φ=Ψ_U-Ψ_i- сдвиг фаз между напряжением и током

Она содержит постоянную составляющую UIcos φ, значение которой зависит от сдвига фаз между током и напряжением, и переменную составляющую ,амплитуда которой не зависит от φ .

Среднее значение мгновенной мощности двухполюсника за период (активная мощность) численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности:

P_A=UIcos φ=UI =I²r (2.38)

По знаку активной мощности можно судить о направлении передачи энергии: при R_A>0 двухполюсник потребляет энергию, при R_A<0 – отдает энергию остальной части цепи.

Полная мощность P_S называется величина, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи: P_S=UI

Комплексная мощность цепи - это комплексное число , модуль которого равен полной мощности цепи P_S, а аргумент - углу сдвига фаз между током и напряжением φ .

(2.39)

Реактивная мощность цепи P_Q -это мнимая часть комплексной мощности:

(2.40)

По знаку реактивной мощности можно судить о характере запасаемой энергии: при P_Q >0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при P_Q <0 -в электрическом; при P_Q =0 в цепи отсутствует обмен энергии с источником.

Баланс мгновенных мощностей: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей , потребляемых всеми приемниками энергии

(2.41)

Необходимо иметь в виду, что потребляется и отдаётся не мощность, а электрическая энергия

Баланс комплексных мощностей: сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов

(2.42)

где - комплексно-сопряжённый ток.

Коэффициент мощности- величина , характеризующая степень приближения активной мощности нагрузки к максимальному значению.

Критерий передачи максимальной активной мощности от источника энергии в нагрузку – сопротивление нагрузки должно быть величиной комплексно-сопряжённой с внутренним сопротивлением источника или r_H+jx_H=r_i-jx_i

Коэффициент полезного действия цепи - это отношение активной мощности, потребляемой нагрузкой P_A, к суммарной активной мощности, потребляемой в цепи:

(2.43)

Согласование источника с нагрузкой по критерию максимума КПД заключается в том, чтобы резистивная составляющая сопротивления нагрузки была намного больше резистивной составляющей внутреннего сопротивления источника (r_h>>r_i).

Два участка цепи эквивалентны, если при замене одного из этих участков другим токи и напряжения остальной части идеализированной электрической цепи не изменяются.

При последовательном включении сопротивлений, индуктивностей и источников напряжения параметра эквивалентного элемента R_эк, L_эк, и е_эк равны сумме параметров последовательно включенных элементов соответствующего типа.

При последовательном включении емкостей значение величины обратной С_эк, определяется как сумма величин обратных каждой из последовательно включенных емкостей С. Очевидно, что эквивалентная емкость С_эк будет меньше любой из последовательно включенных емкостей.

При параллельном включении емкостей и источников тока параметры эквивалентного элемента С_эк , j_эк, равны сумме параметров параллельно включенных элементов соответствующего типа.

При параллельном включении сопротивлений или индуктивностей значение величин, обратных R_эк и L_эк, определяются как сумма значений всех величин, обратных параллельно включенным сопротивлениям R_i или индуктивностям L_i.

Преобразование участков цепей со смешанным соединением элементов производят в несколько этапов: группу параллельно включенных элементов заменяют одним двухполюсником, комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимостей параллельно включенных элементов, а группу последовательно включенных элементов – одним двухполюсником, комплексное сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивлений всех последовательно включенных элементов.

Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование (звезда- треугольник).

(1))

(1))

(4))

(2))

(3))

(2))

(3)

Рис. 2.12

Преобразование треугольник- звезда:

(2.44)

Преобразование звезда- треугольник

(2.45)

Связанными называют две и более катушек индуктивностей, если изменение тока одной из катушек вызывает появление ЭДС в остальных.

Компонентные уравнения ветвей, содержащих связанные индуктивности:

; (2.46)

,

где L₁ и L₂-индуктивности первой второй катушки, М - взаимная индуктивность.

Одноименными зажимами двух связанных индуктивных катушек называют пару зажимов выбранных таким образом, что при одинаковых относительно этих зажимов направлениях токов катушек магнитного потока самоиндукции и взаимоиндукции в каждой из них суммируются. Одноименные зажимы индуктивных катушек помечают одинаковыми значками: точками, звездочками, треугольниками и т.п.

Коэффициент связи между индуктивными катушками представляет собой среднее геометрическое отношений потока взаимоиндукции к потоку самоиндукции каждой из катушек:

, (2.47)

Он принимает решения 0≤ k_m <1

Эквивалентная индуктивность двух последовательно включенных связанных индуктивностей равна:

L_эк = L₁+ L₂ ± 2М,

где верхний знак (плюс) соответствует согласному включению, а нижний (минус) - встречному.

При параллельном соединении двух связанных индуктивностей эквивалентная индуктивность определяется:

(2.48)

Трансформатором называется устройство для передачи энергии из одной части электрической цепи в другую, основанное на использовании явления взаимоиндукции.

Линейный двухобмоточный трансформатор – это трансформатор без ферромагнитного сердечника и его можно рассматривать как две связанные катушки с линейной индуктивностью.

Совершенный трансформатор- это идеализированный четырех полюсный элемент, представляющий собой две связанные индуктивности с коэффициентом связи, равным единице.

Ток намагничивания, ток I₁₀, потребляемый трансформатором от источника в режиме холостого хода на выходе.

Коэффициент трансформации, величина

, (2.49)

равная отношению числа витков вторичной обмотки N₂ к числу витков первичной области N₁.

Идеальный трансформатор – это совершенный трансформатор, ток намагничивания которого равен нулю.

Отношение напряжения вторичной обмотки к напряжению первичной обмотки идеального трансформатора равно отношению токов первичной и вторичной обмоток: ; (2.50)

В связи с тем, что коэффициент трансформации n является действительным числом, напряжение и ток первичной обмотки имеют такие же начальные и мгновенные фазы, как соответственно напряжение и ток вторичной обмотки, и отличаются от них только по амплитуде.

Входное сопротивление идеального трансформатора имеет такой же характер, как и сопротивление нагрузки, и отличается от него по модулю в n² раз.

(2.51)