pq 2a 3b 2a b 4aa 4ab 3bb 4 1 4 1, 2 3 16 48,8 ,

pp2a 3b 2a 3b 4aa 12ab 9bb 4 1 12 1, 2 9 16 133,6 , qq 2a b 2a b 4aa 4ab bb 4 1 4 1, 2 16 24,8 ,

4.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов а, b называется новый вектор,

Векторное произведение векторов а, b, заданных своими координатами, равно

i j k

Модуль векторного произведения c a b равен площади параллело-

грамма, построенного на векторах а, b как на ребрах, когда их начала совмещены (рис. 9)

Из формулы (9) следует, что если начала векторов а, b совмещены, то площадь треугольника (рис. 10), построенного на векторах а, b, как на ребрах, равна

49

Пример 11. Найти площадь параллелограмма и площадь треугольника, построенных на векторах a 2, 0, 1 , b 0, 1, 2 .

Решение. По формуле (8)

4.4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов а, b, c называется число, обозначаемое аbc и равное a b c , т. е. равное скалярному произведению

вектора с на векторное произведение векторов а, b.

Смешанное произведение векторов а, b, c, заданных своими координатами, равно

Абсолютная величина смешанного произведения векторов а, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, как на ребрах, если начала векторов а, b, c совмещены (рис. 11)

Из этого следует, что объем тетраэдра, построенного на перемножаемых векторах, как на ребрах, если начала векторов а, b, c совмещены (рис. 12), равен

50

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Признак компланарности трех векторов. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Пример 14. Даны четыре вектора a 2, 0, 1 , b 1, 0, 0 , c 2, 1, 0 ,

По признаку компланарности векторы а, b, c не компланарны, а векторы а, b, d компланарны.

51