1.3. Определители и их вычисление

Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ведина О. И., Рабкин Е. Л. Линейная алгебра для экономистов. Практикум.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2020

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

			1.3. Определители и их вычисление
Каждой квадратной матрице сопоставляется число, называемое ее
определителем, число строк (равное числу столбцов) этой матрицы на-
зывается порядком определителя (определение определителя в [1]). Опре-
делитель матрицы A обозначается либо det A , либо									A (не путать с симво-
лом модуля). Строки и столбцы определителя называются его рядами.
Например, определитель					5 является определителем первого порядка,
определитель			8	2 является определителем второго порядка,						а определи-
			8	4
1	0	2
тель 2	6	3 является определителем третьего порядка.
3	7	2
Определитель первого порядка по определению равен элементу, из ко-
торого он составлен, a1,1 a1,1					. Например,		5 5 , 5		5 .
Определитель второго порядка вычисляется «крестом»: от произведе-
ния элементов определителя на главной диагонали,									проходящей через a1,1 и
a2,2 , следует отнять произведение элементов определителя на побочной
диагонали, проходящей через элементы a2,1 и a1,2 .
				a1,1	a1,2 a a		a	a .
				a2,1	1,1	2,2	2,1	1,2
				a2,1	a2,2
Пример 9. Вычислить определители второго порядка:
		3 1		3 5 1 2 17 ,			0	1 0 5 1 2 2 .
		2	5				2	5
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу Саруса (или
Сарюса) (Sarus), которое можно формализовать как правило треугольников
или правило диагоналей.
а) Правило треугольников. Проводим главную (нисходящую) диаго-
наль и строим два треугольника с основаниями, параллельными этой диаго-
нали (рис. 2), затем вычисляем три произведения, перемножая элементы
на диагонали и в вершинах каждого треугольника.
Проводим побочную (восходящую) диагональ и строим два треуголь-
ника с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 3), затем вычисля-
ем три произведения, перемножая элементы
на побочной диагонали и в вершинах каждо-
на побочной диагонали и в вершинах каждо-
го треугольника.
Определитель третьего					порядка	равен
разности суммы трех первых произведений и									Рис. 2	Рис. 3
									Рис. 2	Рис. 3
суммы трех вторых произведений.

б) Правило диагоналей. Снизу припишем к определителю третьего порядка две его первые строки. Проводим главную (нисходящую) диагональ определителя и два параллельных ей отрезка через второй и третий элементы первого столбца, после чего вычисляем произведения элементов на этих трех отрезках. Аналогичные построения и вычисления проведем с элемен-

	тами второй (побочной) диагонали и двух
	параллельных ей отрезков.
	параллельных ей отрезков.
	Определитель		третьего порядка равен
	разности суммы трех первых произведений
	на нисходящих отрезках и суммы трех вто-
	рых произведений на восходящих отрезках
Рис. 4	(рис. 4).
	1	0	2
Пример 10. Вычислить определитель 2		6	3 .
	3	7	2

Решение. а) Применим правило треугольников. Группируем элементы определителя согласно схемам на рис. 5 и вычисляем шесть произведений.

Определитель третьего порядка равен разности суммы первых трех произведений и суммы вторых трех произведений.

1	0	2	1	0	2
2	6	3	2	6	3
3	7	2	3	7	2

Рис. 5

1 0 2

26 3 1 6 2 2 7 2 3 0 3 3 6 2 1 7 3 2 0 2 40 57 17 .

37 2

	1	0	2		1	0	2	б) Применим правило диагоналей. Приписав

								под определителем две его первых строки, вычис-
	2	6	3		2	6	3
								лим шесть произведений, соответствующих шести

	3	7	2		3	7	2	отрезкам (рис. 6).
1		0	2	1		0	2	Определитель равен разности суммы первых
2		6	3	2		6	3	трех произведений и суммы вторых трех произве-
								дений.
				Рис. 6

1 0 2

26 3 1 6 2 2 7 2 3 0 3 3 6 2 1 7 3 2 0 2 40 57 17 .

37 2

3 0 4

Пример 11. Вычислить определитель 2 1 0 .

1 5 6

Решение. Группируем элементы определителя по схеме рис. 7 и вычисляем шесть произведений.

Определитель равен разности суммы первых трех произведений и суммы вторых трех произведений.

3	0	4		3	0	4
3	0	4		3	0	4
2	1	0		2	1	0
1	5	6		1	5	6
3	0	4		3	0	4
2	1	0	2		1	0

									Рис. 7
3	0	4
3	0	4

2	1	0	3	1	6	2 5 4 1 0 0	1	1	4 3 5 0 2 0	6	26.
1	5	6

Подчеркнем, что правила Саруса можно применять для вычисления определителей только третьего порядка.

Определение 11. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные под главной диагональю или над главной диагональю, равны нулю.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

	2	3		3	0	0		1	0	0	0
								1	0	0	0
								0	3	0	0

Пример 12. Вычислить определители			,	2	1	0	,					.
	0	1		1	5	6		0	0	5	0
				1	5	6		0	0	0	8
								0	0	0	8

Решение. Все перечисленные определители являются треугольными, поэтому они равны произведению элементов, расположенных на их главных диагоналях.

	2		3	2 1 2 ,
	0		1
		3		0		0
		3		0		0
			2	1		0	3 1 6 18 ,
			1	5		6
			0	0	0
1			0	0	0
0			3	0	0	1 3 5 8 120 .
0			0	5	0
0			0	0	8

Одним из способов вычисления определителей высших порядков является приведение их к треугольному виду с помощью свойств определителя.

Свойства определителя

1.При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

3.Определитель с двумя равными строчками (столбцами) равен нулю.

4.Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5.Определитель с двумя пропорциональными строчками или столбцами равен нулю.

6.Величина определителя не изменится, если к любой его строке прибавить любую другую строку, предварительно умноженную на любое число. Аналогичное свойство верно и для столбцов.

Следующие примеры демонстрируют применение свойств определителей при приведении их к треугольному виду с последующим вычислением.

2 4 1

Пример 13. Вычислить определитель 2	1	0 .
1	5	6

Решение. Вычисление определителя разбивается на несколько шагов, число которых равно порядку определителя, уменьшенному на единицу. Поскольку в данном случае вычисляется определитель третьего порядка, то будет выполнено два шага.

Шаг 1. Целью данного шага является обнуление всех элементов первого столбца, начиная с его второго элемента. Для этого первую строку прибавляем ко второй (на схеме обозначая это символом II I ), затем переставляем первую и третью строки1) (на схеме обозначая это двойной стрелкой), затем прибавляем первую строку, умноженную на два, к третьей (на схеме обозначая это символом III 2 I ). В результате первый столбец принимает требуемый вид: первый элемент не равен нулю, а все остальные элементы равны нулю.

Шаг 2. Целью данного шага является обнуление всех элементов второго столбца, начиная с его третьего элемента. В данном примере второй столбец уже имеет требуемый вид, и второй шаг заканчивается констатацией этого факта.

В результате выполнения обоих шагов получаем треугольный определитель, значение которого равно произведению элементов его главной диагонали

2	4	1		2	4	1	1	2	3		1	2	3
2	4	1		2	4	1	1	2	3		1	2	3
2	1	0	II I	0	3	1	0	3	1		0	3	1	15.
1	2	3		1	2	3	2	4	1	III 2 I	0	0	5

	1	2	2	1
Пример 14. Вычислить определитель	2	1	3	1	.
	0	2	1	3
	2	0	2	1

1) При перестановке строк знак определителя изменяется на противоположный.

Решение.

1	2	2		1				1	2	2	1			1	2	2	1
2	1	3 1			II 2 I			0	3	1	1			0	1	3	1
0	2	1		3				0	2	1	3			0	1	2	3	III II
2	0	2		1	I II			0	1	1	2			0	1	1	2	I II
			1	2		2		1				1		2	2	1
			1	2		2		1				1		2	2	1
			0		1	3	1					0	1		3	1	3.
			0	0		1		2	I 2 III			0		0	1	2
			0	0		2		1	I 2 III			0		0	0	3

Шаг 1. Обнуляем, начиная со второго элемента, все элементы первого столбца. Для этого: а) от второй строки отнимаем первую, умноженную на два; б) к четвертой строке прибавляем вторую строку.

Оцениваем оставшиеся столбцы, самый «условно простой»2) из них ставим на место второго столбца. В качестве «простого» мы выбираем третий столбец и меняем его местами со вторым, при этом знак определителя меняется на противоположный. Данное действие не является обязательным, но упрощает вычисления.

Шаг 2. Обнуляем, начиная с третьего, все элементы второго столбца. Для этого: а) вторую строку прибавляем к третьей; б) вторую строку прибавляем к четвертой.

Шаг 3. Обнуляем, начиная с четвертого, все элементы третьего столбца. Для этого от четвертой строки отнимаем третью строку, умноженную на два.

В результате получаем треугольный определитель, который вычисляем, перемножая элементы его главной диагонали.

1.4. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Теорема разложения

Определение 12. Минором элемента ai, j определителя			A	называется


определитель Mi, j , полученный из	A	удалением i -й строки и	j -го столбца,

т. е. той строки и того столбца, в пересечении которых стоит элемент ai, j .

Определение 13. Алгебраическим дополнением Ai, j элемента ai, j				опре-
делителя называется его минор, которому приписан знак по формуле:
A	1 i j M	i, j	.	(2)
i, j		i, j

2) Простота столбца определяется субъективными предпочтениями каждого студента.

1 4 2

Пример 15. Для определителя											2	3 7	вычислить			М 2,3 ,		A2,3 , М2,2 ,
										1 2 3
A2,2 , М1,2 , A1,2 .
														1		4	2
														1		4	2
Решение. Минор М 2,3 элемента а2,3												определителя		2		3 7		получаем,
														1 2			3
вычеркивая его вторую строку и третий столбец,
						М 2,3	1	4	( 1)( 2) 4 1 2 .
						М 2,3	1	4	( 1)( 2) 4 1 2 .
							1	2
Алгебраическое дополнение А2,3 элемента а2,3													по формуле (2) равно
						А ( 1)2 3 М				2,3	( 1)( 2) 2.
				2,3						2,3
Аналогично
М	2,2		1	2		( 1)( 3) 2 1 1,						А	( 1)2 2 М		2,2	1 1 1;
М			1	2		( 1)( 3) 2 1 1,						А	( 1)2 2 М			1 1 1;
			1	3								2,2
			1	3
				7	2 ( 3) 7 1 1,							А ( 1)1 2 М 1 1 1.
М	1,2	2		7	2 ( 3) 7 1 1,							А ( 1)1 2 М 1 1 1.
	1,2	1		3								1,2	1,2
		1		3

Теорема разложения. Величина определителя равна сумме парных произведений элементов любого его ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. справедливы равенства:


А		ai,1 Ai,1	ai,n Ai,n ,	(3)

А	a1, j A1, j		an, j An, j .	(4)

Данные равенства называются «разложение определителя по строке и по столбцу» соответственно.

2 4 1

Пример 16. Вычислить определитель 2	1	0 дважды: сначала
1	5	6

разложив его по первой строке, а затем разложив его по третьему столбцу. Решение. а) Раскладывая определитель по первой строке, получаем

				2			4	1
				2			4	1
					2		1	0	2 A1,1 4 A1,2 1 A1,3
					1		5	6
2 1 1 1 M1,1 4 1 1 2								M1,2 1 1 1 3 M1,3 2 M1,1 4 M1,2 M1,3
2	1	0	4			2	0	2	1	2 6 0 4 12 0	10 1 47 .
2	1	0	4			2	0	2	1	2 6 0 4 12 0	10 1 47 .
	5	6				1	6	1	5

б) Раскладывая определитель по третьему столбцу, получаем

2	4	1
2	4	1
2	1	0	1 A 0 A 6 A 1 1 3								M	1,3	0 6 1 3 3	M	3,3	M	1,3	6 M	3,3
					1,3		2,3		3,3			1,3			3,3		1,3		3,3
1	5	6
					1	6		2	4	10 1 6 2 8 11 36 47 .
				2	1	6		2	4	10 1 6 2 8 11 36 47 .
				1	5			2	1

Данный пример показывает, что разложение определителя по ряду оказывается тем короче, чем больше нулей в данном ряду. Применяя свойства определителя, всегда можно добиться того, чтобы число нулей любого его произвольного ряда было на единицу меньше порядка определителя или равно этому порядку, если ряд нулевой.

Пример 17. Вычислить определитель третьего порядка, применяя

2 4 1

теорему разложения									2			1				0 .
									1			5			6
		Решение.
			2	4			1	обнуляем					6			4			1		разложение
								обнуляем
									элементы
				1				второй								1					по второй
			2	1			0	строки					0			1			0			строке
			1	5			6						11			5			6				0	A2,1 1 A2,2 0 A2,3
			1	5			6						11			5			6
			I 2 II
			1 A			1 1 2 2 M									2,2	1 M				2,2				1	36 11 47.
			1 A			1 1 2 2 M										1 M							6	1	36 11 47.
				2,2																			11	6
																							11	6
		Пример 18.					Вычислить определитель четвертого порядка, применяя
												2			2	1
											1	2			2	1
теорему разложения											2	1			3	1		.
											0	2			1	3
											2	0		2		1
		Решение.
	1	2	2	1							обнулили			1		2			2			1	применяем			получили
											обнулили												применяем			получили
											элементы												разложение			определитель	3	1	1
											элементы												разложение			определитель
											первого												по первому			третьего
	2	1	3	1	II 2 I столбца									0		3			1			1	столбцу		1 A1,1	порядка
	0	2	1	3										0		2			1			3			1 A1,1		2	1	3
	0	2	1	3										0		2			1			3					1	1	2
	2	0	2	1	IIII II									0		1			1			2					1	1	2
	2	0	2	1	IIII II									0		1			1			2
											3	1			1
											3	1			1
			применяем							2		1				3
			правило Сарюса														6 2 3 1 9 4 11 14 3.
										1		1				2	6 2 3 1 9 4 11 14 3.

3 1 1 2 1 3

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра