4.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4.1.Линейные операции над векторами

Свободным вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве без изменения его длины и направления. В данной главе свободные векторы будем называть просто векторами. Векторы обозначаются либо малыми латинскими буквами, выделенными жирным шрифтом, либо упорядоченной парой точек его начала и конца, запи-

санной под общей чертой. На рис. 1 изображен вектор

ся вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначается символом 0 , модуль нулевого вектора равен нулю.

В множестве векторов вводятся линейные операции сложения и умножения на число. Сумму двух векторов можно определить двумя равносильными способами: по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Правило параллелограмма (рис. 2): векторы-слагаемые откладывают от общего начала, их суммой называется вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов-слагаемых, а конец с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на этих векторах, как на ребрах.

Правило треугольника (рис. 3): отложим векторы-слагаемые так, чтобы начало второго совпадало с концом первого; тогда их суммой называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом второго вектора.

7) Отсюда следует, что если a 0 и/или 0 , то b a 0 .

44

Пример 1. Графически даны два вектора а и b (рис. 5, 6), графически построить векторы 2a 3b и 3a 2b по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Решение. 1) Строим вектор 2а, увеличивая длину а в два раза и сохраняя направление вектора а. Строим вектор 3b, увеличивая длину b в три раза и сохраняя направление вектора b. Откладываем векторы 2а и 3b от одного начала и строим параллелограмм на векторах 2а и 3b как на ребрах. Проводим вектор 2a 3b из общего начала векторов 2а и 3b в противоположную вершину параллелограмма (рис. 5).

2) Строим векторы 2а и вектор 3b. Параллельным переносом совмещаем конец вектора 3b и начало вектора 2а. Проводим вектор 2a 3b из начала вектора 3b в конец вектора 2а (рис. 5). Заметим, что 2a 3b 3b 2a .

3) Строим вектор 3а, увеличивая длину а в три раза и сохраняя направление вектора а. Строим вектор –2b, увеличивая длину b в два раза и изменяя направление вектора b на противоположное. Откладываем векторы 3а и –2b от одного начала и строим параллелограмм на векторах 3а и –2b, как на ребрах. Проводим вектор 3а – 2b из общего начала векторов 3а и –2b в противоположную вершину параллелограмма (рис. 6).

4) Строим векторы 3а и –2b. Параллельным переносом совмещаем конец вектора 3а и начало вектора –2b. Проводим вектор 3а – 2b из начала вектора 2а в конец вектора 3b (рис. 6).

Ортом называется вектор, модуль которого равен единице. Упорядоченная тройка векторов i, j, k , отложенных от

Известно [1], что множество векторов является линейным пространством размерности три. Обозначим через i, j, k

правую тройку трех взаимно перпендикулярных ортов (рис. 7). Векторы i, j, k образуют базис линейного пространства векторов, любой вектор а можно

45

разложить по базису i, j, k, т. е. представить в виде a axi ay j az k , где ax , ay , az – числовые коэффициенты, называемые координатами вектора a

в базисе i, j, k.

Любой вектор однозначно определяется тройкой своих координат, поэтому в дальнейшем будем использовать запись a ax , ay , az , отождеств-

a axi ay j az k 3i 2 j 0k 3i 2 j.

46

4.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a ax , ay , az и b bx ,by ,bz называется число, обозначаемое ab и определяемое формулой

ab axbx ayby azbz 2 0 3 1 1 3 6 .

Если хотя бы один из векторов a, b равен 0, то скалярное произведение ab равно нулю. Если оба вектора не равны 0, то

Применение скалярного произведения

1)Модуль вектора a равен: a a a ax 2 ay 2 az 2 .

2)Косинус угла между векторами a, b равен

3)Признак перпендикулярности векторов: векторы a, b перпенди-

кулярны8) тогда и только тогда, когда ab 0 .

4)Признак параллельности векторов: векторы a, b параллельны то-

гда и только тогда, когда

8)По определению полагают, что нулевой вектор перпендикулярен любому вектору.

9)Равенство (5) означает пропорциональность координат двух векторов, поэтому, если знаменатель какой-либо дроби равен нулю, то для выполнения (5) и числитель этой дроби также должен быть равен нулю.

47

5) Проекция вектора a на направление вектора b равна